Première spécialité mathématiques − 2020 / 21 P
2− exe
Ex. 2p285 Ex. 2p285 Ex. 2p285 Ex. 2p285
1) a) La variable G prend les valeurs 1000 ou 1250 et 1500.
b) La loi de G est donnée par le tableau :
a 1000 1250 1500
P ( G = a ) 3 5
1 5
1 5 2) a) E ( G ) est donc la moyenne des valeurs de G , compte tenu des probabilités.
Or tout se passe comme si, sur 5 parties jouées, le gain était 3 fois de 1000 €, 1 fois de 1250 € et 1 fois de 1500 € de sorte de la moyenne est 3 × 1000 + 1 × 1250 + 1 × 1500
5 .
Ainsi E ( G ) = 3
5 × 1000 + 1
5 × 1250 + 1
5 × 1500 = 1150.
b) G est exprimée en € donc sa valeur moyenne E ( G ) également : E ( G ) = 1150 €.
c) Il n'est pas possible de gagner 1150 € sur une partie.
d) En moyenne on gagne 1150 € par partie.
Donc en moyenne on gagne 100 × 1150 = 115 000 € sur cent parties.
Ex. 19p290 Ex. 19p290 Ex. 19p290 Ex. 19p290
X - 2 10
Evénement Face 1, 2 ou 3 Face 4
Probabilité 3
4
1 4
E ( X ) = 3
4 × ( - 2) + 1
4 × 10 = 1 donc en moyenne un joueur gagne 1 € par partie.
Ex. 20p290 Ex. 20p290 Ex. 20p290 Ex. 20p290
Le prix étant fixé à 2 € par billet, il faut en tenir compte dans le gain algébrique du joueur.
Ainsi les valeurs de G sont 0 − 2 = - 2 ou 10 − 8 = 8 ou 50 − 2 = 48 100 − 2 = 98.
On calcule P ( G =- 2) = 1 − P ( G = 8) − P ( G = 48) − P ( G = 98) et donc :
G - 2 8 48 98
Evénement 889 billets 100 billets 10 billets 1 billet
Probabilité 889 1000
1 10
1 100
1 1000
Ainsi E ( G ) = 0,889 × ( - 2) + 0,1 × 8 + 0,01 × 48 + 0,001 × 98 = - 0,4 donc en moyenne chaque joueur perd 40 centimes par partie.
Ex. 21p290 Ex. 21p290 Ex. 21p290 Ex. 21p290
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
On en déduit la loi de X :
X 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36
Evénement 1 2 2 3 2 4 2 1 2 4 2 1 2 2 2 1 2 1
Probabilité 1 36
1 18
1 18
1 12
1 18
1 9
1 18
1 36
1 18
1 9
1 18
1 36
1 18
1 18
1 18
1 36
1 18
1 36
E ( X ) = 1
36 × 1 + 1
18 × 2 + 1
18 × 3 + … + 1
36 × 36 = 441
36 = 12,25.
Ex. 24p290 Ex. 24p290 Ex. 24p290 Ex. 24p290
Les quatre chemins possibles sont : 1 − 1 − 2 − 1 (X = 5) ou 1 − 1 − 1 − 1 (X = 4) ou 1 − 1 − 1 − 1 − 1 (X = 5) ou 1 − 3 − 1 (X = 5).
D'où la loi de X :
E ( X ) = 1 4 × 4 + 3
4 × 5 = 4,75 donc en moyenne un trajet a pour longueur 475 mètres.
Ex. 27p290 Ex. 27p290 Ex. 27p290 Ex. 27p290
a) P ( X Â 2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) = 0,1 + 0,15 + 0,25 = 0,5.
Il y a donc une chance sur deux que le standard reçoive au maximum deux appels en une minute.
P (1 Â X Â 4) = P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) = 0,15 + 0,25 + 0,3 + 0,15 = 0,85.
Il y a donc 85% de chances pour que le standard reçoive entre un et quatre appels en une minute.
b) La proba qu'il reçoive au moins trois appels est
P ( X Ã 3) = P ( X = 3) + P ( X = 4) + P ( X = 5) = 0,3 + 0,15 + 0,05 = 0,5.
On peut remarquer que ( X Ã 3) est l'événement contraire de ( X Â 2) et donc P ( X Ã 3) = 1 − P ( X Â 2)
= 1 − 0,5 = 0,5.
E ( X ) = 0,1 × 0 + 0,15 × 1 + 0,25 × 2 + 0,3 × 3 + 0,15 × 4 + 0,05 × 5 = 2,4 ce qui signifie qu'en moyenne le standard reçoit 2,4 appels par minute.
Ex. 28p290 Ex. 28p290 Ex. 28p290 Ex. 28p290
Il manque P ( X = 3) = 1 − 0,3 − 0,5 = 0,2.
Dans ces conditions, P ( X Ã 2) = P ( X = 2) + P ( X = 3) = 0,5 + 0,2 = 0,7.
E ( X ) = 0,3 × 1 + 0,5 × 2 + 0,2 × 3 = 1,9.
X 4 5
Evénement 1 trajet 3 trajets Probabilité 1
4
3
4
Ex. 36p292 Ex. 36p292 Ex. 36p292 Ex. 36p292
La loi de X est :
E ( X ) = 1 4 × 2 + 1
4 × 5 + 7
20 × 10 + 1
10 × 20 + 1
20 × 50 = 9,75 € ce qui signifie qu'un bon a en moyenne une valeur de 9,75 €.
V ( X ) = 1
4 × (2 − 9,75)
2+ 1
4 × (5 − 9,75)
2+ 7
20 × (10 − 9,75)
2+ 1
10 × (20 − 9,75)
2+ 1
20 × (50 − 9,75)
2= 112,1875.
σ ( X ) = 112,1875 % 10,6 ce qui signifie qu'en moyenne chaque bon a une valeur distante de 10,6 € de leur moyenne de 9,75 €.
Ex. 36p292 Ex. 36p292 Ex. 36p292 Ex. 36p292
La loi de X est :
E ( X ) = 0,8 × 0 + 0,15 × 5 + 0,05 × 10 = 1,25.
V ( X ) = 0,8 × (0 − 1,25)
2+ 0,15 × (5 − 1,25)
2+ 0,05 × (10 − 1,25)
2= 7,1875.
σ ( X ) = 7,1875 % 2,68.
Ex. 40p292 Ex. 40p292 Ex. 40p292 Ex. 40p292
On peut considérer que X est le gain d'un joueur jouant au jeu 1 et que Y est celui d'un joueur jouant au jeu 2.
On constate que E ( X ) = 1
8 × ( - 2) + 3
2 × ( - 1) + 3 8 × 1 + 1
8 × 2 = 0 ce qui signifie que le gain moyen d'un joueur par partie au jeu 1 est nul.
De même E ( Y ) = 1
4 × ( - 5) + 1 8 × 0 + 1
8 × 1 + 1
2 × 2 = - 1
8 ce qui signifie que le gain moyen d'un joueur par partie au jeu 2 est de - 0,125 €.
Ainsi le jeu 2 est défavorable au joueur, et donc favorable à l'organisateur, alors que le jeu 1 est équitable.
X 2 5 10 20 50
Evénement 50 bons 50 bons 70 bons 20 bons 10 bons Probabilité 1
4
1 4
7 20
1 10
1 20
X 0 5 10
Evénement Rien Spare Strike
Probabilité 0,8 0,15 0,05
Ex. 46p293 Ex. 46p293 Ex. 46p293 Ex. 46p293
La loi de X est :
E ( X ) = 7
10 × ( - 2) + 3
20 × 0 + 1
20 × 3 + 1
20 × 8 + 1
20 × 48 = 1,55 ce qui signifie qu'un billet rapporte en moyenne (une fois déduit son achat) 1,55 €.
V ( X ) = 7
10 × ( - 2 − 1,55)
2+ 3
20 × (0 − 1,55)
2+ 1
20 × (3 − 1,55)
2+ 1
20 × (8 − 1,55)
2+ 1
20 × (48 − 1,55)
2= 119,2475.
σ ( X ) = 119,2475 % 10,9 ce qui signifie qu'en moyenne chaque billet a une valeur distante de 10,9 € de leur moyenne de 1,55 €.
Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1
1) P ( S ) = 0,6 ; P
S( R ) = 0,2 ; P
S( A ) = 0,45 ; P S Ò ( A ) = 0,55 et P ( R ) = 0,18.
D'où l'arbre :
2) a) P ( S Ò ∩ A ) = P( S Ò ) × P S Ò ( A ) = 0,4 × 0,55 = 0,22.
b) D’après la formule des probabilités totales, P ( A ) = P ( S ∩ A ) + P ( S Ò ∩ A ) = 0,6 × 0,45 + 0,22 = 0,49.
3) P ( B ) = 1 − P ( A ) − P ( R ) = 1 − 0,49 − 0,18 = 0,33 donc le gestionnaire a raison.
4) a) P ( S ∩ R ) = P ( S ) × P
S( R ) = 0,6 × 0,2 = 0,12.
b) P( S Ò ∩ R ) = P ( R ) − P ( S ∩ R ) = 0,18 − 0,12 = 0,06 d’après la formule des probabilités totales.
c) P ( S ∩ R ) = 0,12 et P ( S ) × P ( R ) = 0,6 × 0,18 = 0,108.
Donc P ( S ∩ R ) ≠ P ( S ) × P ( R ) et les événements S et R sont donc indépendants : le gestionnaire a tort.
X -2 0 3 8 48
Evénement 14 billets 3 billets 1 billet 1 billet 1 billet Probabilité 7
10
3 20
1 20
1 20
1 20
S L
S Ò L
A
R B
B A
R 0,6
0,4
0,2 0,45
0,55
0,35
d) P S Ò ( R ) =
P ( S Ò ∩ R )
P ( ) S Ò =
0,06
0,4 = 0,15 e) P
B( S ) = P ( S ∩ B )
P ( B ) = 0,6 × 0,35 0,33 = 7
11 % 0,646.
5) a)
x 200 230 270 350 380 420
evénement S ∩ R S ∩ A S ∩ B S Ò ∩ R S Ò ∩ A S Ò ∩ B
P ( X = x ) 0,12 0,27 0,21 0,06 0,22 0,12
b) E ( X ) = 0,12 × 200 + 0,27 × 230 + 0,21 × 270 + 0,06 × 350 + 0,22 × 350 + 0,12 × 420 = 297,80.
Le gestionnaire peut espérer gagner en moyenne 297,80 € par locataire.
c) Par conséquent sur une saison il peut espérer faire un chiffre d’affaire de 550 × 297,80 = 163790 €.
Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2
1) P ( C ) = 0,7 ; P
C( A ) = 0,6 ; P
ÒC
( A ) = 0,2. A Ò D'où l'arbre :
2) a) P ( C ∩ A ) = 0,7 × 0,6 = 0,42.
b) D’après la formule des probabilités totales, P ( A ) = P ( C ∩ A ) + P ( C Ò ∩ A ) = 0,7 × 0,6 + 0,3 × 0,2 = 0,48.
c) P
ÒA