MPSI – Programme de colles – Semaine 22
(du 22/03/2021 au 26/03/2021)1 Révisions de MPSI.
Un petit exercice sur lecalcul intégral (cf. chapitres 4 et 5) sera posé à chaque élève.
2 Applications linéaires, hyperplans.
Tout le programme précédent sur le chapitre 21.
Lesquestions de cours au programme sont les suivantes :
Théorème de la base duale en dimension finie(Théorème 67, Chap 21).Soit E unK-ev de dimension finie nPN˚, mPN˚ et H1, . . . , Hm des hyperplans deE. Alors dimpH1X. . .XHnq ěn´m (Proposition 74, Chap 21).
3 Sous-espaces affines.
• Translations. L’écriture B“A`~u est équivalente à la relationÝÝÑ AB“~u.
• Sous-espaces affines d’un espace vectoriel, direction. Hyperplan affine. Intersection de sous-espaces affines.
Question de cours : L’intersection de sous-espaces affines est un sous-espace affine (si intersection non vide) (Théorème 12, Chap 22).
• Équations linéaires. Structure de l’ensemble des solutions d’une équation linéaire.
• Applications : systèmes linéaires, équations différentielles linéaires d’ordres 1et2, polynômes interpolateurs, suites récurrentes linéaires d’ordre2.
• Repère affine. Coordonnées.
4 Calcul matriciel.
• Espace vectoriel Mn,ppKqdes matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansK. Base canonique et dimension de Mn,ppKq.
• Produit matriciel, bilinéarité, associativité. Produit d’une matrice de la base canonique deMn,ppKqpar une matrice de la base canonique deMp,qpKq.
Question de cours : Bilinéarité du produit matriciel (Théorème 6, Chap 23).
• AnneauMnpKq. Non commutativité pourně2. Exemples de matrices nilpotentes. Formule du binôme, application au calcul de puissances. Matrices inversibles, inverse. Groupe linéaireGLnpKq. Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures.
• Transposée d’une matrice, notation tA. Opérations sur les transposées : combinaison linéaire, produit, inverse.
5 Matrices et applications linéaires (QC uniquement).
Question de cours : L’application uÞÑMatE,Fpuq est un isomorphisme (Théorème 5, Chap 24).
Question de cours : Coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire (Proposition 6, Chap 24).
6 La semaine suivante.
Calcul matriciel, matrices et applications linéaires.
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