Sous-espaces affines

Sous-espaces affines

D´edou

Novembre 2012

Structure de l’ensemble des solutions d’un syst` eme homog` ene

Rappel

On a compris que l’ensemble des solutions d’un syst`eme d’´equations homog`enes est une partie bien particuli`ere duRⁿ concern´e : c’est un sous-espace vectoriel.

Question

Et si les ´equations ne sont pas homog`enes ?

Combiner des solutions d’un syst` eme lin´ eaire I

Pas besoin de beaucoup d’´equations pour voir ce qui se passe.

Exemple

On consid`ere l’´equation lin´eaire :

x+ 2y+ 2z+ 3t = 5.

Je vois deux solutionss₁:= (1,2,0,0) et s₂ := (0,0,1,1).

Maintenant je fais une combinaison lin´eaire au hasard s := 3s1+ 2s2 = (3,6,2,2)

et je ne tombe pas sur une nouvelle solution.

Combiner des solutions d’un syst` eme lin´ eaire II

On va juste rectifier le tir.

Exemple

On consid`ere toujours l’´equation lin´eaire : x+ 2y+ 2z+ 3t = 5.

avec ses deux solutionss₁:= (1,2,0,0) ets₂:= (0,0,1,1).

Cette fois on fait la combinaison lin´eaire s := 3s1−2s2 = (3,6,−2,−2)

et ¸ca marche !

Le truc est que la combinaison lin´eaire est barycentrique : la somme des coefficients est 1.

Combiner des solutions d’un syst` eme lin´ eaire III

Proposition

SoitS un syst`eme d’´equations lin´eaire `an inconnues, et soient s et s⁰ (dans Rⁿ) deux solutions deS. Alors toute combinaison lin´eaire barycentrique des ets⁰ est encore solution deS.

Ca se d´emontre...

On le dit un peu autrement

Proposition

L’ensemble des solutions d’un syst`eme d’´equations lin´eaires `a n inconnues est une partie deRⁿ qui est stable par passage au barycentre.

Sous-espaces affines : d´ efinition

D´efinition

Dans un espace vectoriel, un sous-espace affine est une partie stable par passage au barycentre.

Sous-espaces affines : exemples

Exemples

Droites deR², droites et plans deR³.

Sous-espaces affines et syst` emes lin´ eaires

Proposition

L’ensemble des solutions d’un syst`eme d’´equations lin´eaires `a n inconnues est un sous-espace affine deRⁿ.

Et la r´eciproque est vraie ! Th´eor`eme

Tout sous-espace affine deRⁿ est l’ensemble des solutions d’un syst`eme d’´equations lin´eaires `an inconnues.

Translations

D´efinition

DansRⁿ, la translation de vecteur aest l’applicationv 7→v+a.

Exemple

DansR², (x,y)7→(x+ 1,y+ 2) est la translation de vecteur (1,2).

Sous-espaces vectoriels et translations I

L’image d’un sous-espace vectoriel par une translation n’est en g´en´eral pas un sous-espace vectoriel.

Exemple

DansR², l’image de la droite d’´equationy=x par la translation de vecteur (1,2) est la droite d’´equationy =x+ 1.

Ce n’est pas un sous-espace vectoriel.

Sous-espaces affines et translations II

Proposition

L’image d’un sous-espace vectoriel par une translation est un sous-espace affine.

Et la r´eciproque est presque vraie ! Th´eor`eme

Tout sous-espace affine non vide deRⁿ est l’image d’un (unique) sous-espace vectoriel par une translation.

Ca se d´emontre... mais on prr´ef`ere le dire autrement.

Sous-espaces affines parall` eles

D´efinition

On dit que deux sous-espaces affines sont parall`eles si l’un est l’image de l’autre par une translation.

Proposition-d´efinition

Tout sous-espace affine non vide deRⁿ est parall`ele `a un unique sous-espace vectoriel. Ce sous-espace vectoriel s’appelle la directiondu sous-espace affine.

Exemple

DansR², la direction de la droite d’´equationy = 2x+ 3 est la droite d’´equationy = 2x.

Cas d’un ensemble de solutions :exemple

Exemple

DansR², la direction de la droite d’´equationy+ 2x= 3 est l’´equation homog`ene associ´eey+ 2x = 0.

C’est un ph´enom`ene g´en´eral.

Cas d’un ensemble de solutions

Proposition

SoitS un syst`eme d’´equations lin´eaires compatible etS₀ le

syst´eme homog`ene associ´e. Alors la direction du sous-espace affine des solutions deS est le sous-espace vectoriel des solutions de S₀.

Solution particuli` ere et solution g´ en´ erale

Slogan

On obtient la solution g´en´erale d’un syst`eme d’´equations lin´eaires (compatible) en ajoutant `a une solution particuli`ere la solution g´en´erale du syst`eme homog`ene associ´e.

Pratiquement

Pour sp´ecifier un sous-espace affine (de solutions ?) on en donne un point (origine ?) et une base de la direction.

Rep` ere cart´ esien

D´efinition

Un rep`ere cart´esien d’ un sous-espace affineAest constitu´e d’ un point deAet d’une base de la direction deA.

Exemple

Un rep`ere cart´esien du plan d’´equationx+ 2y+ 3z = 5 dansR³ est ((0,1,1); (3,0,−1),(2,−1,0)).

Exo corrig´ e

Exo

Donner un rep`ere cart´esien du sous-espace d’´equations

x+ 2y+z+ 3t= 1

x+y+z−t= 2 dansR⁴.

Exo final

Exo

Donner un rep`ere cart´esien du sous-espace d’´equations

x+ 3y+z+ 3t= 1

x+ 2y+z−t= 2 dansR⁴.