Exercice 1 : SoitEun espace m´etrique compact

Universit´e de Rouen Facult´e des Sciences

Licence de Math´ematiques. Topologie 1993-1994 Devoir 2

Le contrˆole sur le devoir 2 portera ´egalement sur les exercices des fiches 5 et 6 de T.D. Aucun document ne sera autoris´e.

Exercice 1 :

SoitEun espace m´etrique compact. Soitf une application deE dansE v´erifiant :

∀x, y∈E d f(x), f(y)

≥d(x, y) a) Soitx, y∈E. Montrer que :

∀ε >0 ∃k∈N^∗ tel que

d x, f^k(x)

≤ε d y, f^k(y)

≤ε b) En d´eduire quef(E) est dense dansE et que∀x, y∈E d f(x), f(y)

=d(x, y).

c) Montrer quef est une isom´etrie deE surE.

Exercice 2 :

SoitEun espace m´etrique compact. Soitf une application deE dansE v´erifiant :

∀x, y∈E x6=y =⇒d f(x), f(y)

< d(x, y) a) Montrer quef admet un unique point fixe

on pourra consid´erer l’applicationx−→d f(x), x .

b) Donner un exemple de compact deRet d’une application de ce compact dans lui-mˆeme sans point fixe.

Exercice 3 :

SoitE un espace m´etrique non compact. Montrer qu’il existe des applications de E dans Rcontinues mais non born´ees.

Exercice 4 :

SoitEun espace localement compact et Ωn

n∈Nune suite d’ouverts denses dansE.

a) Montrer que siO₀ est un ouvert non vide, on peut construire une suite O_n

n∈N d’ouverts non vides relativement compacts telle que∀n∈N On+1⊂On∩Ωn.

b) Montrer que \

n∈N

On6=∅. En d´eduire que \

n∈N

Ωn est dense dansE.

c) Montrer que siE est r´eunion d´enombrable de ferm´es, alors un de ces ferm´es est d’int´erieur non vide.