Trouver les solutions des syst`emes d’´equations suivants : (x˙ =x−2y ˙ y= 4x+ 5y (x˙ =−3x+ 4y ˙ y=−2x+ 3y en mettant sous forme de Jordan les matrices correspondantes

UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences

Section de math´ematiques

Analyse II r´eelle

S´erie 15 15 mars 2005

1. R´esoudre le syst`eme d’´equations

(x^′= −x+x²−y²

y^′= −y+ 2xy et d´ecrire les trajectoires.

(Indication: il s’agit en fait de l’´equation associ´ee au champ de vecteurs qui s’ecrit sous la formeξ=z(z−1), o`u z = x+iy. Utiliser la transformation w(z) = <sub>z−1</sub><sup>z</sup> pour se ramener `a l’´equation associ´ee au champ η(w) =−w).

2. Trouver les solutions des syst`emes d’´equations suivants : (x˙ =x−2y

˙

y= 4x+ 5y

(x˙ =−3x+ 4y

˙

y=−2x+ 3y en mettant sous forme de Jordan les matrices correspondantes.

3. D´ecrire l’allure des solutions des syst`emes suivants, sans r´esoudre explicitement : (x˙ =−3x−4y

˙

y= 4x+ 3y

(x˙ =−x−2y

˙

y= 4x−5y

(x˙ =−3x+ 4y

˙

y=−x+y