UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences Section de math´ematiques Analyse II r´eelle S´erie 20 26 avril 2005 1. F (a, b, c, t) d´esigne la fonction hyperg´eom´etrique. On rappelle que : F (a, b, c, t) = 1 +

UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences

Section de math´ematiques

Analyse II r´eelle

S´erie 20 26 avril 2005

1. F(a, b, c, t) d´esigne la fonction hyperg´eom´etrique. On rappelle que :

F(a, b, c, t) = 1 + X∞

k=1

1 k!

a(a+ 1)· · ·(a+k−1)b(b+ 1)· · ·(b+k−1) c(c+ 1)· · ·(c+k−1) t^k . Montrer que :

F(−p, b, b,−x) = (1 +x)^p( p entier>0 ) , log(1 +x) =xF(1,1,2,−x).

2. Montrer que l’´equation de Bessel :

t²y^′′+ty^′+ (t²−p²)y= 0

a un point singulier r´egulier ent= 0. Construire deux solutions lin´eairement ind´ependantes par la m´ethode vue au cours, en supposant quep6= 0 et que 2pn’est pas un entier n´egatif, et en expliquant o`u cette condition surpintervient.

Indication : l’´equation indicielle est F(r) =r²−p²= 0 et on trouve comme solutions

Jp(t) =|t|^p X∞

k=0

ckt^k , c2k+1= 0, c2k= (−1)^kc0

2^2kk!(p+ 1)(p+ 2)· · ·(p+k) etJ−p(t)

3. Dire quelle est la nature du point critique (0,0) par la m´ethode de Liapounov `a l’aide d’une fonction de la formex²+ay², avecapositif ou n´egatif, ou bien x³+y³ :

ξ= (−2xy²−x³,−y+x²y) , ξ= (2xy+x³,−x²+y³) , ξ= (x²+y⁴, y²+x⁴)