UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences
Section de math´ematiques
Analyse II r´eelle
S´erie 17 5 avril 2005
1. Soit X ⊂ Rn une sous-vari´et´e, U ⊃X un ouvert et ξ : U → Rn un champ de vecteurs tangent `a X, c’est-`a-dire tel que :
y∈X =⇒ξ(y)∈T Xy o`u T Xy d´esigne l’espace tangent `aX au pointy.
Montrer que siϕ:I→U est une trajectoire deξ, et que pour un t0∈I on aϕ(t0)∈X, alorsϕ(t)∈X,
∀t∈I (utiliser les ´equations locales deX).
Montrer que siX est compacte, les trajectoires maximales deξsont d´efinies pour toutt∈R.
2. Montrer que le champ ξ(x, y, z) = (y,−x,0) est tangent `a la sph`ere S2=
(x, y, z)∈R3|x2+y2+z2−1 = 0 . Trouver ses trajectoires.
3.Montrer que le champsξ= (−y+xz2, x+yz2,−z(x2+y2)) est tangent `a la ph`ere. Trouvez ses trajectoires (voir figure). On peut utiliser la transformation (ρ, θ)7→(ρcos(θ), ρsin(θ),p
1−ρ2) pour se ramener `a un champs dans le plan.
