Universit´ e A/MIRA de B´ ejaia 5 mars 2012 Facult´ e de la Technologie
D´ epartement ST 2
Examen de Maths 3
Exercice 1 : (4 points)
Etudier la nature de chacune des s´eries suivantes :
a)
∑∞ n=0
2n
3n+ 1 b)
∑∞ n=0
n2+ 1 n!
c)
∑∞ n=0
n2e−n2 d)
∑∞ n=0
n
n3+ 2n2+ 1 . Exercice 2 : (4 points)
En utilisant les d´eveloppements limit´es, ´etudier la nature de la s´erie num´erique suivante :
∑∞ n=1
{ cos
((−1)n
√n )
−e
(−1)n
√n
} .
Rappels : Les d´eveloppements limit´es au voisinage de 0, `a l’ordre 3, des deux fonctionsx7→cosx et x7→ex sont donn´es par :
cosx = 1− x2
2 +o(x3) ex = 1 +x+x2
2 +x3
6 +o(x3), o`uo(x3) s’´ecrit aussi sous la forme x3ε(x), avec ε(x)→0 quand x→0.
Exercice 3 : (8 points)
Pour toutn ∈N∗ et toutx∈[1,+∞[, soit :
fn(x) = logx nxn .
1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions (fn)n sur [1,+∞[.
2. Pour tout n ∈N∗, ´etudier les variations de la fonction fn.
3. En d´eduire la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn)n sur [1,+∞[.
4. Soit
S(x) =
∑∞ n=1
fn(x).
— Montrer queS est continue sur [1,+∞[.
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1
Exercice 4 : (4 points) - choisir entre 1. et 2.
1.
Consid´erons la s´erie num´erique :∑∞ n=1
1
n(n+ 1)(n+ 2). (a) D´eterminer deux nombres r´eels a et b pour que l’on ait :
1
n(n+ 1)(n+ 2) = a
n(n+ 1) + b
(n+ 1)(n+ 2). (b) Utiliser cette derni`ere identit´e pour calculer la somme partielle :
Sn=
∑n
k=1
1
k(k+ 1)(k+ 2).
(c) En d´eduire la convergence de la s´erie propos´ee tout en pr´ecisant sa somme.
2.
Consid´erons la s´erie enti`ere :S(x) =
∑∞ n=3
xn n−2.
(a) D´eterminer le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere.
(b) D´eterminer le domaine de convergence de cette s´erie enti`ere.
(c) Calculer la somme S(x).
BONNE CHANCE
2
