Universit´ e A/MIRA de B´ ejaia 5 mars 2012 Facult´ e de la Technologie

Universit´ e A/MIRA de B´ ejaia 5 mars 2012 Facult´ e de la Technologie

D´ epartement ST 2

Examen de Maths 3

Exercice 1 : (4 points)

Etudier la nature de chacune des s´eries suivantes :

a)

∑∞ n=0

2n

3n+ 1 b)

∑∞ n=0

n²+ 1 n!

c)

∑∞ n=0

n²e⁻ⁿ² d)

∑∞ n=0

n

n³+ 2n²+ 1 . Exercice 2 : (4 points)

En utilisant les d´eveloppements limit´es, ´etudier la nature de la s´erie num´erique suivante :

∑∞ n=1

{ cos

((−1)ⁿ

√n )

−e

(−1)n

√n

} .

Rappels : Les d´eveloppements limit´es au voisinage de 0, `a l’ordre 3, des deux fonctionsx7→cosx et x7→e^x sont donn´es par :

cosx = 1− x²

2 +o(x³) e^x = 1 +x+x²

2 +x³

6 +o(x³), o`uo(x³) s’´ecrit aussi sous la forme x³ε(x), avec ε(x)→0 quand x→0.

Exercice 3 : (8 points)

Pour toutn ∈N^∗ et toutx∈[1,+∞[, soit :

f_n(x) = logx nxⁿ .

1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions (fn)_n sur [1,+∞[.

2. Pour tout n ∈N^∗, ´etudier les variations de la fonction f_n.

3. En d´eduire la convergence uniforme de la suite de fonctions (f_n)_n sur [1,+∞[.

4. Soit

S(x) =

∑∞ n=1

f_n(x).

— Montrer queS est continue sur [1,+∞[.

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1

Exercice 4 : (4 points) - choisir entre 1. et 2.

1.

∑∞ n=1

1

n(n+ 1)(n+ 2). (a) D´eterminer deux nombres r´eels a et b pour que l’on ait :

1

n(n+ 1)(n+ 2) = a

n(n+ 1) + b

(n+ 1)(n+ 2). (b) Utiliser cette derni`ere identit´e pour calculer la somme partielle :

S_n=

∑n

k=1

1

k(k+ 1)(k+ 2).

(c) En d´eduire la convergence de la s´erie propos´ee tout en pr´ecisant sa somme.

2.

S(x) =

∑∞ n=3

xⁿ n−2.

(a) D´eterminer le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere.

(b) D´eterminer le domaine de convergence de cette s´erie enti`ere.

(c) Calculer la somme S(x).

BONNE CHANCE

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