UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences Section de math´ematiques Analyse II r´eelle S´erie 5 16 novembre 2004 1. Soit f (x) = x

UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences

Section de math´ematiques

Analyse II r´eelle

S´erie 5 16 novembre 2004

1. Soitf(x) =x³−2x−5. Comme on le devine sur

x

3 2 1 0 0 -1

10

-2

-20 -10 -3

Fig. 1 – Graphe dex³−2x−5 son graphe, ce polynˆome poss`ede une racine pr`es de

x0= 2. Calulez-la `a l’aide de la m´ethode de Newton, avect(x) =x−<sub>f</sub><sup>f(x)</sup>′(x0), `a 2 d´ecimales pr`es. (Indication : v´erifiez que l’on peut prendrex0= 2,r= ¹₄,q=³₅.)

2. Soitf :]a, b[→Rune application continue, admet- tant une d´eriv´ee continue. Supposons quef(ω) =ω et|f^′(ω)|<1, pour unω∈]a, b[. Utiliser le th´eor`eme des accroissements finis pour en d´eduire l’existence d’un r >0 tel que [ω−r, ω+r]⊂]a, b[ et tel que le th´eor`eme du point fixe s’applique `af|_{[ω−r,ω+r]}. Mon- trer que si|f^′(x0)|>1 un telrn’existe pas.

3. Soitf(x) = ¹₂x(1−x). Trouver les points fixes de

. . . x

f(x)

f(x) . . .ω f²(x)

Fig.2 – It´erations dex7→f(x) f. Pour chaque point fixeωdire, `a l’aide de l’exercice

pr´ec´edent, s’il existe un voisinageV tel que six∈V, les it´er´es defⁿ(x) convergent versω ou non ; repre- sentez graphiquement ces it´er´es, comme sur le dessin ci-contre. Mˆeme question pourf(x) = 2x(1−x)

4. Soitf : [a, b]→[a, b] une fonction continue. Mon- trer quefposs`ede au moins un point fixe (Indication : consid´erer la fonction g(x) =f(x)−x).