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Soit f :R → R une fonction continue telle que limx→−∞f(x

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Academic year: 2022

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MISMI Semestre 2, Ann´ee 2013-2014

UE M1MI2011 : ANALYSE 1 - Devoir surveill´e 2

Date : 28 Avril 2014 Dur´ee : 1h30

Exercice 1.

1. ´Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

2. Soit f :R R une fonction continue telle que limx→−∞f(x) = −∞

et limx+f(x) = +∞. Montrer qu’il existex0 Rtel que f(x0) = 0.

Peut-on d´eterminer x0 de mani`ere approch´ee par une m´ethode algo- rithmique et laquelle ?

3. Soit P un polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e impair. Montrer que P admet au moins une racine r´eelle.

Exercice 2.

1. ´Enoncer la r`egle de l’Hˆopital.

2. Calculer les limites suivantes :

xlim0

(ln (1 +x2) sinx

)

xlim0

(x−sinx 1cosx

) .

Exercice 3. Soient h un nombre r´eel strictement positif et f une fonction de classe C2 sur [0,2h], prenant ses valeurs dans R. On d´efinit la fonction ϕ sur [0, h] par

∀x∈[0, h], ϕ(x) :=f(x+h)−f(x).

1. Montrer que ϕ est de classe C2 sur [0, h]. ´Enoncer la formule des ac- croissements finis pour une fonction `a valeurs r´eelles continue sur un segment [a, b] et d´erivable sur ]a, b[. D´eduire de cette formule qu’il existe c∈[0, h] tel que

(f(2h)−f(h))

(

f(h)−f(0))

=

=f(2h)2f(h) +f(0) =h ϕ(c).

2. Exprimer la fonctionϕ en fonction de het de la d´eriv´ee de la fonction f sur [0,2h].

3. D´eduire des deux questions pr´ec´edentes qu’il existe α∈]0,1[ tel que f(2h)2f(h) +f(0) =h2f′′(2αh).

1

(2)

Exercice 4.

1. ´Enoncer l’in´egalit´e des accroissements finis pour une fonction `a valeurs r´eelles continue sur un segment [a, b] deRet d´erivable en tout point de ]a, b[.

2. V´erifier que si x et y sont deux ´el´ements de [−π/4, π/4], on a

|x−y| ≤ |tanx−tany| ≤2|x−y|.

3. ´Enoncer l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange pour une fonction `a valeurs r´eelles de classe Cp (p N) sur un segment [a, b] de R et d´erivable

`

a l’ordre p+ 1 en tout point de ]a, b[. `A quelle valeur de p correspond l’in´egalit´e des accroissements finis ´enonc´ee `a la question 1?

4. Montrer que pour tout x >1

log(x) (x1)(x3) 2

(x1)3

6 .

2

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