UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences Section de math´ematiques Analyse II r´eelle S´erie 11 11 janvier 2005 1. Trouver pour quelles valeurs de r, R la courbe de l’espace d’´equations : (x

UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences

Section de math´ematiques

Analyse II r´eelle

S´erie 11 11 janvier 2005

1. Trouver pour quelles valeurs der, R la courbe de l’espace d’´equations : (x²+y²−r² = 0

x²+z²−R² = 0 r, R >0 n’a pas de points singuliers.

2. Trouver la distance minimale de la courbe planex²+ 8xy+ 7y²−225 = 0 `a l’origine.

Cette courbe est-elle compacte ?

3. On dit que le point (x0, y0) de la courbe d’´equation y−g(x) = 0, o`u g est de classe C², est un point d’inflexion sig^′′(x0) = 0.

Plus g´en´eralement, soit (x0, y0) un point r´egulier de la courbe d’´equationf(x, y) = 0, o`u f est de classe C<sup>2</sup>; soit g:]x0−r0, x0+r0]→]y0−R0, y0+R0[ telle quef(x, g(x)) = 0, au cas o`u ^∂f_∂y(x0,y0)6= 0 (sinon il faut ´echanger les rˆoles dexet y). On dit que (x0, y0) est un point d’inflexion deZ(f) sig^′′(x0) = 0.

Montrer que les points d’inflexion de Z(f) sont ceux qui satisfont l’´equation : fy,y·f_x²−2fx,y·fx·fy+fx,x·f_y²= 0

o`u hx (resp.hy) d´enote la d´eriv´ee par rapport `ax(resp. par rapport `ay) de la fonctionh(x, y).

(Indication : on sait queg^′(x) =−fx/fy; calculer `a partir de l`ag^′′(x) en fonction des d´eriv´ees def).

Trouver les points d’inflexion des courbes suivantes :

y²−x²(x−1) = 0 ; x³+y³−1 = 0 Esquisser ces deux courbes.