UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences
Section de math´ematiques
Analyse II r´eelle
S´erie 4 8 novembre 2004
1. Soit Bnk(x) = nk
xk(1−x)n−k le k-i`eme polynˆome de Bernstein de degr´en. Trouver ses extrema pour 0≤x≤1 et esquisser son graphe.
2. Montrer que l’on a :
Bkn0
(x) =n Bnk−1−1(x)−Bnk−1(x)
Soitf : [0,1]→Rune fonction d´erivable dont la d´eriv´ee est continue. Soit (fn) la suite de fonctions d´efinie par fn(x) = Pn
k=0f(kn) nk
xk(1−x)n−k. D´eduire de la relation pr´ec´edente que la suite des d´eriv´ees {fn0} converge uniform´ement versf0 sur [0,1].
3.
– Soit [a, b] un intervalle quelconque ; on peut munir l’espaceC([a, b],R) des normes
kfka,b1 = Z b
a
|f(x)|dx , kfka,b∞ = sup{|f(x)|, x∈[a, b]}
Montrer que pour 0≤a < b≤1, si une suite{fn} ⊂ C([0,1],R) converge pourk k1 (respectivement k k∞), alors la suite des restrictions {fn|[a, b]} ⊂ C([a, b],R) converge pour k ka,b1 (respectivement k ka,b∞)
– Consid´erons la suite de fonctions continuesfn : [0,1]→R,n≥0, d´efinies par :
fn(x) =
0 si 0≤x≤1/2−1/n
nx−n/2 + 1 si 1/2−1/n≤x≤1/2
1 si 1/2≤x≤1
Esquisser le graphe de ces fonctions. Montrer que (fn) est une suite de Cauchy dans (C [0,1],R ,k k1).
Montrer que si cette suite poss`ede une limitef dans (C [0,1],R
,k k1), alorsf(x) = 0 si 0≤x <1/2 et f(x) = 1 si 1/2≤x≤1. En d´eduire que (C [0,1],R
,k k1) n’est pas complet.
(Avertissement : on ne doit pas utiliser, comme on en serait tent´e, le fait que si la suitefn tend versf au sens de la norme k k1, alorsfn(x)converge versf(x)∀x∈[0,1], car c’est faux, comme le montre l’exemple de la suite xn ; ce serait vrai avec k k∞ par contre).
4. Montrer que dans un espace vectoriel norm´e l’adh´erence d’une boule ouverteB(a, r) ={x| kx−ak< r}
est l’ensemble{x| kx−ak ≤r}.
Trouvez un sous-ensemble X de Rtel que, si on le munit de la m´etrique induite par la valeur absolue, l’affirmation analogue est fausse, c’est-`a-dire qu’il existea∈X etr >0 tels que l’adh´erence deB(a, r) n’est pas{x| |x−a| ≤r}.
