Pour tout n ∈N on consid`ere la fonction fn d´efinie sur [0,1] par : fn(x) =xn(1−x)

Universit´e de Nantes D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 L2 Physique - Module S22P030

TD 3 : Suites et s´eries de fonctions Exercice 1.

Pour n ∈Non consid`ere la fonction f_n d´efinie sur [0,1] par :

f_n(x) =

(1−nx si x∈ 0,_n¹

0 si x∈₁

n,1 1. Montrer que la suite (f_n)_n∈

N converge simplement vers une fonction f qu’on explicitera.

2. La convergence est-elle uniforme ? Exercice 2.

Pour tout n ∈N on consid`ere la fonction f_n d´efinie sur [0,1] par : f_n(x) =xⁿ(1−x).

1. Etudier la fonction f_n pour toutn∈N.

2. En d´eduire que f_n converge uniform´ement vers la fonction nulle.

Exercice 3.

On consid`ere la s´erie de fonctions : P

n∈Ne⁻ⁿ²sin(nx).

1. Montrer que cette s´erie converge normalement.

2. Montrer que la somme est une fonction de classeC¹. Exercice 4.

Soit P

a_n une s´erie num´erique absolument convergente.

1. Montrer que la s´erie de fonctions P

a_ncos(nx) est normalement convergente.

2. Soit m∈N. Calculer :

Z 2π

0

cos(mx)X

n∈N

a_ncos(nx)dx