UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences
Section de math´ematiques
Analyse II r´eelle
S´erie 13 25 janvier 2005
1. Trouverϕ0: [a, b]→R, ϕ0(x)>0 pourx∈[a, b],ϕ0(a) =A,ϕ0(b) =B, qui minimise la fonctionnelle :
Z b
a
p1 +ϕ0(x)2
ϕ(x) dx
(Cette int´egrale repr´esente la longueur de la courbex7→(x, ϕ(x)) dans le demi-plan
(x, y)∈R2|y >0 muni de la m´etrique hyperbolique.)
2. D´ecrire les g´eod´esiques du cylindre deR3 d’´equationx2+y2−1 = 0.
3. Trouver les extr´emales de
Z b
a
xnϕ0(x)2dx . Montrer que sin≥1 eta <0< b, il n’existe pas d’extr´emale.
