UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences
Section de math´ematiques
Analyse II r´eelle
S´erie 16 22 mars 2005
1. Soit f : U →Rn, U ⊂R×Rn ouvert,f continue. Soit (t0, y0)∈U. Soit ϕ: I →Rn continue, I ⊂R un intervalle, telle que (t, ϕ(t))∈U ∀ t ∈I. Montrer queϕ(t) est solution de l’´equation y0 =f(t, y) avec condition initiales (t0, y0) si et seulement si :
ϕ(t) =y0+ Z t
t0
f(s, ϕ(s))ds , ∀t∈I .
On voit avec ceci que la recherche d’un solution avec conditions initiales (t0, y0) est ramen´e `a la recherche d’un point fixe de la transformation .
T(ϕ)(t)=y0+ Z t
t0
f(s, ϕ(s))ds
2. Trouver la solution de l’´equation diff´erentielley0= 2t(1 +y) avec conditions initiales (0,0) en proc´edant par it´erations de la transformation d´efinie `a l’exercice pr´ec´edent, en commen¸cant parϕ0(t)≡0.
3. On cherche une fonction holomorphe w(z) satisfaisant l’´equation diff´erentielle :
w0(z) = 1 2w(z)
Montrer qu’il existe une infinit´e de solutions maximales avec condition initialew(1) = 1.
