UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences
Section de math´ematiques
Analyse II r´eelle
S´erie 14 8 mars 2005
1. SoitM(n, n,R) l’espace vectoriel des matricesn×n`a coefficients r´eels et Sym(n,R) les sous-espace des matrices sym´etriques. D´efinissons ϕ : M(n, n,R) → Sym(n,R) par ϕ(A) = A·At−I, o`u At d´enote la transpos´ee etI la matrice identit´e. Montrer que siϕ(A) = 0, alors la d´eriv´eedϕA:M(n, n,R)→Sym(n,R) est surjective. En d´eduire que le groupe orthogonal O(n) est une sous-vari´et´e de M(n, n,R). Calculer sa dimension (utiliser l’exercice 3, s´erie 9).
2. R´esoudre l’´equation
y′=y2cos(t) et esquisser la famille des solutions
3. Trouver les solutions de l’´equation diff´erentielle y′t3−2y= 0. Montrer que pour toute condition initiale (t0, y0), avect06= 0, il passe une infinit´e de solutions de classeC∞.
4. R´esoudre le syst`eme d’´equations
(x′ = x-y y′= x+y en passant en coordonn´ees polaires et esquisser les trajectoires.
