UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences Section de math´ematiques Analyse II r´eelle S´erie 8 7 d´ecembre 2004 1. Soient A, B, C ∈ R

UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences

Section de math´ematiques

Analyse II r´eelle

S´erie 8 7 d´ecembre 2004

1. Soient A, B, C ∈ R² les sommets d’un triangle et P ∈ R² quelconque. Posons w1 = w^1/2_A , c’est-`a-dire l’homoth´etie de centreA, rapport 1/2, explicitement :x7→1/2(x+A) ; posons encorew2=w_B^1/2,w3=w^1/2_C . D´efinissons la suitexn, n≥0 ainsi :

x0=P x1=w1(x0) x2=w2(x1) x3=w3(x2) . . . x3n+1=w1(x3n) x3n+2=w2(x3n+1) x3n+3 =w3(x3n+2) Montrer que la suitexn s’accumule vers l’ensemble des trois points :

1

7(A+ 2B+ 4C) , 1

7(B+ 2C+ 4A) , 1

7(C+ 2A+ 4B) (Indication : consid´erer les trois compositions :w3◦w2◦w1,w1◦w3◦w2 ,w2◦w1◦w3)

On d´esigne parL(Rⁿ,R^p)l’espace des applications lin´eaires deRⁿ dansR^p. 2. SoientA∈ L(R^m,Rⁿ) etB∈ L(Rⁿ,R^p). Montrer que

kB◦Ak ≤ kBk · kAk

o`u B◦Ad´enote la composition.

3. Soitϕ(t) = (t², t³). Montrer qu’il n’existe pas deξ∈[0,1] tel queϕ(1)−ϕ(0) =ϕ^′(ξ).

4. Calculer la d´eriv´ee de l’application

L(R^m,Rⁿ)× L(Rⁿ,R^p)→ L(R^m,R^p) , (A, B)7→B◦A

sans utiliser l’expression deAetB en termes de matrices. En d´eduire la d´eriv´ee des applications : L(Rⁿ,Rⁿ)→ L(Rⁿ,Rⁿ) , A7→A◦A etA7→A◦A◦A .