(1)UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences Section de math´ematiques Analyse II r´eelle S´erie 24 24 mai 2005 1

UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences

Section de math´ematiques

Analyse II r´eelle

S´erie 24 24 mai 2005

1. Soitf :R³→R³ d´efinie par f(x1, x2, x3) = (x²₁+x2, x²₂+x1x3, x²₃+ 2x1x2). Calculer f^∗(dy1∧dy2) et f^∗(dy1)∧f^∗(dy2).

2. D´efinissons la (n−1)-formeω surRⁿ\ {0} par :

ω(x) = Pn

i=1(−1)ⁱxidx1∧ · · · ∧dxi−1∧dxci∧dxi+1∧ · · · ∧dxn

Pn i=1x²_iⁿ₂ Montrer quedω= 0. Calculerω∧df, o`u f(x) =x²₁+· · ·+x²_n.

3. Soientϕ(t) etψ(t),t∈]−ρ, ρ[ deux fonctions continues, avec ϕ(0)6= 0,ψ(0)6= 0. Soientr1, r2∈Cdeux nombres complexes, avecr16=r2. Montrer que les deux fonctions|t|^r1ϕ(t) et|t|^r2ψ(t), d´efinies pour|t|< ρ, t6= 0, sont lin´eairement ind´ependantes.

Rappel : si z∈Cett >0,t^z=e^zlog(t).

Indication : si on avait |t|^r1ϕ(t) =λ|t|^r2ψ(t),λ∈C,λ6= 0, divisez par |t|^r2 des deux cˆot´es