a) Calculer l’effet deA sur les 2-formes, c’est-`a-dire Λ2(A

UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences

Section de math´ematiques

Analyse II r´eelle

S´erie 23 17 mai 2005

1. SoitA:R³→R³ l’application lin´eaire d´efinie par la matrice :

A=





2 0 1 0 1 2 2 0 1





a) Calculer l’effet deA sur les 2-formes, c’est-`a-dire Λ²(A) : Λ²(R³)→Λ²(R³).

b) Soientϕ= 3dy¹−2dy²+dy3etψ=dy1+ 3dy²−dy3. Calculer Λ²(A)(ϕ∧ψ) et Λ¹(A)(ϕ)∧Λ¹(A)(ψ).

2. Calculer la diff´erentielle ext´erieure des formes diff´erentielles suivantes : a) ω= 2xydx+x²dy

b) ω=xdy∧dz+ydz∧dx+zdx∧dy

c) ω= 2zxdy∧dz+ 2yzdz∧dx−(x²−y²)dx∧dy

3.

a) Soitf1, . . . , fn une base orthonormale deRⁿ,ϕ1, . . . , ϕn sa base duale. Montrer que ϕ1∧ · · · ∧ϕn =±dx1∧ · · · ∧dxn

et que le signe d´etermine l’orientation def1, . . . , fn.

b) (Facultatif) On suppose quen= 3 et que la basef1, f2, f3 a mˆeme orientation que la base naturelle.

Soitθ:R³→Λ²(R³) l’isomorphisme d´efini en envoyantf1,f2,f3respectivement surϕ2∧ϕ3,ϕ3∧ϕ1, ϕ1∧ϕ2. Montrer queθ ne d´epend que de la m´etrique et de l’orientation deR³, c’est-`a-dire que si on choisit une autre base orthogonale, de mˆeme orientation, on obtient le mˆeme isomorphisme.

Indication : montrer que si A: R³ →R³ est orthogonale (i.e. pr´eserve la m´etrique) et d´et(A) = +1 (i.e.A pr´eserve l’orientation), alorsθ◦A= Λ²(A)◦θ

4. Soit A = ai,j

i,j=1,...,n une n×n-matrice `a coefficients r´eels inversible. On note par i une suite de k entiers v´erifiant 1≤i1< i2· · ·< ik ≤net pari<sup>0</sup> la suite compl´ementaire `a idans les entiers de 1 `an. Soit 1 ≤j1 <· · · < ik ≤n une autre telle suite etj⁰ son compl´ementaire. D´esignons par Ai,j le mineur de A correspondant aux suitesietj, soit :

Ai,j= d´et aih,j`

. Montrer que

Ai,j =δ_j^{i1...iki01...i0n−k}

1...jkj₁⁰...jn⁰−k

·d´et(A)· A⁻¹

j⁰,i⁰

Indication : Calculez

Λ^k(A)(dxi₁∧ · · · ∧dxik)∧dxj⁰₁∧ · · · ∧dxjn⁰−k

et

Λⁿ A⁻¹

Λ^k(A)(dxi₁∧ · · · ∧dxik)∧dxj⁰

1∧ · · · ∧dxj⁰_n

−k