Examen du 21 Juin2012

Universit´e d’Artois

Facult´e des sciences Jean Perrin Licence de Math´ematiques ModuleVariable complexe

Examen du 21 Juin2012

Dur´ee : 4h

Questions de cours.

(1) On note log la d´etermination principale du logarithme. calculer log(√ 3 +i).

(2) Soit K ⊂ C un domaine ´el´ementaire. Pour a ∈ C\∂K, calculer l’int´egrale I(a) =R

∂K dz z−a·

(3) Soit f une fonction enti`ere, f(z) = P∞

0 c_nzⁿ. Pour r ≥ 0, on pose M(r) = sup{|f(z)|; |z|=r}. D´emontrer les in´egalit´es de Cauchy :

∀n ∈N : |c_n| ≤ M(r) rⁿ · (4) ´Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Liouville.

(5) D´eterminer le d´eveloppement en s´erie de Laurent de f(z) = _z−4¹ + _z+2¹ dans la couronneC ={z ∈C; 1<|z−3|<5}.

(6) En utilisant le th´eor`eme des r´esidus, calculer l’int´egrale I = R

∂D dz

z²+3z+1, o`u Dest le disque unit´e.

(7) Soient a, b ∈ C, et soit n un entier au moins ´egal `a 2. Montrer que si r >

max

1,(|a|+|b|)ⁿ⁻¹¹

, alors|a|r+|b| ≤(|a|+|b|)ret l’´equationzⁿ+az+b= 0 poss`ede n solutions dans le disque D(0, r).

(8) Soit (f_n)n∈N une suite de fonctions holomorphes sur le disque unit´e D. On suppose qu’on a|f_q(z)−f_p(z)| ≤ ²_1−|z|^−p−q pour tousp, q ∈Net pour toutz ∈D. Montrer que la suite (f_n) converge en tout point z ∈ D, et que la fonction f = limf_n est holomorphe sur D.

(9) Soit α ∈R. Montrer que la formule f(z) =R∞

1 t^αe^−tzdt d´efinit une fonction holomorphe sur Ω ={z ∈C; Re(z)>0}.

(10) Montrer que la formule f(z) =Q∞ n=1

1− _n^z33

d´efinit une fonction holomor- phe surC, et d´eterminer les z´eros de la fonction f.

1

2

Exercice 1. Dans tout l’exercice, Ω est un ouvert deC=R². On dit qu’une fonction u: Ω→R de classe C² estsous-harmonique si on a ∆u(z)≥0 pour tout z ∈Ω.

(1) Soit u: Ω→R de classe C². Soit ´egalement z₀ = (x₀, y₀)∈Ω, et soit r₀ >0 tel que D(z₀, r₀)⊂Ω. Pour r ∈[0, r₀], on pose

I(r) = Z 2π

0

u(x₀+rcost, y₀+rsint)dt .

(a) Montrer que I est de classe C¹ sur [0, r₀], et ´etablir la formule rI⁰(r) =

Z

∂D(z0,r)

−∂u

∂ydx+ ∂u

∂xdy .

(b) On suppose que la fonction u est sous-harmonique. En utilisant la for- mule de Green-Riemann, montrer qu’on aI⁰(r)≥0 pour toutr ∈ [0, r₀].

(2) Soit u : Ω →R de classe C² et sous-harmonique. En utilisant (1b), montrer que pour tout disque ferm´eD(z₀, r₀)⊂Ω, on a

u(z₀)≤ 1 2π

Z 2π

0

u(z₀+r₀e^it)dt .

(3) Montrer que sif est une fonction holomorphe sur Ω, alors

|f(z₀)|² ≤ 1 2π

Z 2π

0

|f(z₀+r₀e^it)|²dt pour tout disque ferm´e D(z₀, r₀)⊂Ω.

Exercice 2. Dans tout l’exercice, I est un intervalle de R.

(1) On pose V = {z ∈ C; 0 < Re(z) < 1}. Montrer que si f et g sont deux fonctions strictement positives et int´egrables sur I, alors la formule

Ψ(z) = Z

I

f(t)^1−zg(t)^zdt

d´efinit une fonction continue sur V et holomorphe sur V. (Indication : on pourra poser h(t) = max(|f(t)|,|g(t)|) et utiliser l’in´egalit´e |f(t)^1−zg(t)^z| ≤ h(t), apr`es l’avoir d´emontr´ee).

(2) Soient f etg deux fonctions strictement positives et int´egrables sur I. Pour z ∈V, on pose

Φ(z) =

R

If(t)^1−zg(t)^zdt R

If(t)dt1−z R

Ig(t)dtz ·

(a) Pourquoi Φ est-elle continue sur V et holomorphe sur V?

3

(b) Montrer que si z =x+iy ∈V, alors |Φ(z)| ≤ |Φ(x)|. En d´eduire d’une part que Φ est born´ee sur V, et d’autre part qu’on a |Φ(ξ)| ≤ 1 pour tout ξ ∈∂V.

(c) Pour ε >0, on pose Φ_ε(z) = Φ(z)e^εz2.

(i) Montrer que pour z =x+iy∈V, on a |Φ_ε(z)|=|Φ(z)|e^ε(x2−y2). (ii) Pour R >0, on pose V_R = {z ∈ V; |Im(z)| < R}. D´eduire de (i)

et de (b) que

∀ξ∈∂V_R : |Φ_ε(ξ)| ≤max(e^ε,kΦk∞e^ε(1−R2)), o`u on a pos´ekΦk∞= sup{|Φ(z)|; z ∈V}.

(iii) En utilisant le principe du maximum, montrer qu’on a|Φ_ε(z)| ≤e^ε pour tout z ∈V.

(3) Montrer que pour toutα∈[0,1], on a Z

I

f(t)^1−αg(t)^αdt ≤ Z

I

f(t)dt

1−αZ

I

g(t)dt α

.

Exercice 3. En consid´erant, pour 0 < ε <1< R, les domaines ´el´ementaires K_ε,r =

z ∈C; ε≤ |z| ≤R et 0≤arg(z)≤ 2π 3

, calculer l’int´egrale

I = Z ∞

0

dx x³+ 1 ·