Examen de Math´ematiques (S3 PMCP) n

Examen de Math´ ematiques (S3 PMCP) n

1

Dur´ee 3h. Documents et calculatrices interdits

Le 18 D´ecembre 2006.

barˆeme indicatif: ????

Question de cours.

Exercice 1.

1) On consid`ere la s´erie de fonctions

X

n≥1

(−1)ⁿ e^−nx

n .

Etudier la convergence simple de cette s´erie de fonctions.

2) Montrer queP

n≥1 converge normalement sur tout intervalle [a,+∞[ avec a >0 et converge uniform´ement sur [0,+∞[.

3) Montrer que la fonction:

f(x) = X+∞

n=1

7→(−1)ⁿ e−nx

n

est continue sur [0,+∞[ et d´erivable sur ]0,+∞[.

4) Exprimer f⁰ en termes de fonctions usuelles.

On pourra utiliser l’identit´e P_n=+∞

n=0 (−1)ⁿan= (1 +a)⁻¹, valable pour tout|a|<1. 5) Montrer que

|f(x)| ≤e^−x, pour toutx >0, et en d´eduire la limite de f en +∞.

6) En utilisant les questions 4) et 5) exprimerf en termes de fonctions usuelles.

Exercice 2.

1) Montrer que pour tout 0< x≤1 l’int´egrale Z _+∞

1

1 t+t2x

dt

est convergente.

2) Calculer la fonction:

G(x) = Z _+∞

1

1 t+t2x

dt.

Indication: utiliser un changement de variables pour se ramener `a au cas o`u l’int´egrand ne d´epend pas de x.

Exercice 3.

1) On consid`ere la suite de fonctions (u_n)_n≥1 de ]0,+∞[ dansR d´efinies par:

u_n(x) = 1 n+n2x

.

Montrer que la s´erie de fonctionsP

n≥1u_n converge simplement sur ]0,+∞[.

2) Montrer que la s´erie de fonctionsP

n≥1 converge normalement sur tout intervalle [a, b] avec 0< a < b <∞ et en d´eduire que la fonction:

F(x) =

+∞X

n=1

1 n+n2x

est continue sur ]0,+∞[.

3) On rappelle que si f : [1,+∞[ est une fonction positive d´ecroissante telle que l’int´egrale R_+∞

1 f(t)dt converge, alors on a:

| Z _+∞

1

f(t)dt−X^+∞

n=2

f(n)| ≤ Z ₂

1

f(t)dt.

En d´eduire qu’il existe une constanteC >0 telle que pour 0< x≤1 on ait:

|F(x)− Z _+∞

1

1 t+t2x

dt| ≤C.

4) En utilisant l’exercice 2 montrer que

F(x)' −lnx quand x→0⁺.

Exercice 4.

1) On pose pourn∈N:

a_n= Z √

(n+1)π

√nπ sin(t²)dt.

Montrer quea_n= (−1)ⁿb_n o`u

b_n= 1 2

Z _π

0

sins (s+nπ)¹²

ds,

et v´erifier queb_n est une suite positive, d´ecroissante vers 0.

2) Montrer que b_n ' ¹

(nπ)¹² quand n → +∞, et en d´eduire le rayon de convergence de la s´erie

enti`ere: X

n≥0

a_nzⁿ

3) Etudier la convergence de la s´erie P

n≥0a_nzⁿ sur le cercle de convergence.

Indication: utiliser le crit`ere d’Abel.