Association math´ematique du Qu´ebec Concours 2010, ordre secondaire Le 11 f´evrier 2010, de 9h00 `a 12h00

Association math´ ematique du Qu´ ebec Concours 2010, ordre secondaire Le 11 f´ evrier 2010, de 9h00 ` a 12h00

Le Concours de l’Association Math´ ematique du Qu´ ebec vise ` a d´ eceler les meilleurs talents math´ ematiques des ´ ecoles secondaires du Qu´ ebec. Chaque question a la mˆ eme valeur.

Donnez des r´ eponses compl` etes et d´ etaill´ ees. Les calculatrices sont interdites.

La correction prendra en compte divers ´ el´ ements, dont l’exactitude de la r´ eponse, la d´ emarche, la clart´ e et l’originalit´ e, de mˆ eme que les esquisses de r´ eponses, dans le cas d’une solution non compl´ et´ ee. Nous vous remercions et vous f´ elicitons de votre int´ erˆ et pour les math´ ematiques. Bonne chance.

1 Un nombre renversant

Un alpham´ etique est un petit casse-tˆ ete math´ ematique qui consiste en une ´ equation o` u les chiffres sont remplac´ es par des lettres. Le r´ esoudre consiste ` a trouver quelle lettre correspond

`

a quel chiffre pour que l’´ equation soit vraie. Dans le probl` eme, le mˆ eme chiffre ne peut ˆ etre repr´ esent´ e par deux lettres diff´ erentes et une lettre repr´ esente toujours le mˆ eme chiffre. Bien entendu, un nombre ne doit jamais commencer par z´ ero. Par exemple, l’alpham´ etique PAPA + PAPA = MAMAN a pour solution P=7, A=5, M=1 et N=0. Ainsi, en rempla¸ cant les lettres par les chiffres, on a bien 7575 + 7575 = 15150.

Trouvez la solution de l’alpham´ etique “renversant” suivant : NOMBRE × 3/5 = ERBMON .

2 Le polynˆ ome qui donne la migraine

Trouvez tous les polynˆ omes de forme p(x) = x

+ mx + 6 dont tous les z´ eros sont des nombres entiers.

3 Le cercle coup´ e Une droite est situ´ ee ` a √

2/2 unit´ es du centre d’un cercle de rayon 1, le s´ eparant en deux parties. Quelle est l’aire de la plus petite partie ?

(Donnez la r´ eponse sous la forme A π + B o` u A et B sont des

rationnels.)

4 La ville

La grille suivante repr´ esente le plan d’une ville. En partant du point A, combien y a-t-il de chemins (courts) distincts se rendant ` a B ?

(Un chemin court ne va jamais vers le haut de la grille ni vers la gauche.)

A

B

5 Que de z´ eros !

a. Combien y a-t-il de z´ eros ` a la fin de 1 × 2 × 3 × · · · × 52 ?

b. Quel est le dernier chiffre (i.e. le plus ` a droite) non nul de l’expansion d´ ecimale de 1 × 2 × 3 × · · · × 52 ?

Par exemple, le dernier chiffre non nul de 1 × 2 × 3 × · · · × 12 = 479 001 600 est 6.

6 Le jeu sur le carr´ e

Juliette et Philippe jouent au jeu suivant. Au d´ ebut de la par- tie, chaque coin d’un carr´ e est recouvert d’un certain nombre de jetons. ` A tour de rˆ ole, chaque joueur choisit un cˆ ot´ e du carr´ e et retire autant de jetons qu’il veut des deux coins qui limitent ce cˆ ot´ e, pourvu qu’il en enl` eve en tout au moins un. Il n’est pas n´ ecessaire de retirer le mˆ eme nombre de jetons ` a chacun des coins. Le premier joueur qui se retrouve devant un carr´ e dont tous les coins sont vides a perdu.

Au d´ ebut de la partie, sur le carr´ e ABCD, il y a 10 jetons sur le coin A, 11 sur le coin B, 12 sur le coin C et 13 sur le coin D. Si Juliette commence, comment devrait-elle jouer ?

A B

D C

7 Les fonctions myst´ erieuses

Quelles sont les fonctions F : R → R v´ erifiant F (x) + x F (−x) = 1, pour tout x r´ eel ?