Des boules aux couleurs belges
Problème E539 de Diophante
Une urne contient 2010 boules qui sont toutes noires. On dispose par ailleurs à volonté de boules rouges et jaunes. A chaque tour, on tire deux boules. Si elles sont :
- noires, on les remplace par une boule jaune,
- jaunes, on les remplace par une boule noire et une boule rouge, - rouges, on les remplace par une boule jaune,
- l’une noire et l’autre jaune, on les remplace par une boule rouge, - l’une rouge et l’autre jaune, on les remplace par une boule noire.
- l’une noire et l’autre rouge, on les remet dans l’urne.
Après un nombre fini d’opérations, il y a trois boules dans l’urne. Prouver que l’une au moins est jaune.
Est-il possible qu’après un nombre fini d’opérations, il y ait une seule boule dans l’urne ?
Solution
Notons C = (N, J, R) la composition de l’urne à un moment donné pour N boules noires, J boules jaunes, R boules rouges.
La composition initiale est C0 = (2010, 0, 0). Elle évolue selon les règles : (1) (N, J, R) ⇒ (N-2, J+1, R)
(2) (N, J, R) ⇒ (N+1, J-2, R+1) (3) (N, J, R) ⇒ (N, J+1, R-2) (4) (N, J, R) ⇒ (N-1, J-1, R+1) (5) (N, J, R) ⇒ (N+1, J-1, R-1) (6) (N, J, R) ⇒ (N-1+1, J, R-1+1)
où est précisé , en rouge, la (ou les) bille (s) rajoutée (s).
On constate que l’égalité entre la parité du nombre de billes noires et la parité du nombre de billes rouges est un invariant respecté par ces six règles.
Donc, s’il ne reste que trois billes, seules les compositions (1, 1, 1) ou (0, 3, 0) sont possibles. Dans les deux cas l’une au moins est jaune.
Remarque :, en notant n le nombre de boules noires, r le nombre de boules rouges et t le nombre total de boules, le nombre n - r + (-1)t modulo 4 est un invariant, qui ici vaut 3, plus fin que le précédent.
La réponse à la deuxième question est OUI.
En effet, appliquer successivement les règles (1) et (4), revient à remplacer trois boules noires par une boule rouge.
Soit S la succession : (1) (4) (1) (4) (1) (4) (3) (5). L’application des règles selon S permet de remplacer neuf boules noires par trois boules rouges puis les trois boules rouges par une boule noire ; soit de supprimer huit boules noires de l’urne, au total.
Répétons 251 fois la séquence S ; il ne reste que deux boules noires, qui sont remplacées par une boule jaune, selon la règle (1).
On ne peut pas faire plus vite.
