Une urne contient 2010 boules qui sont toutes noires.On dispose par ailleurs à volonté de boules rouges et jaunes. A chaque tour, on tire deux boules. Si elles sont :
- noires, on les remplace par une boule jaune,
- jaunes, on les remplace par une boule noire et une boule rouge, - rouges, on les remplace par une boule jaune,
- l’une noire et l’autre jaune, on les remplace par une boule rouge, - l’une rouge et l’autre jaune, on les remplace par une boule noire.
- l’une noire et l’autre rouge, on les remet dans l’urne.
Après un nombre fini d’opérations, il y a trois boules dans l’urne. Prouver que l’une au moins est jaune.
Est-il possible qu’après un nombre fini d’opérations, il y ait une seule boule dans l’urne?
E539
E539 Des boules aux couleurs belges
Problème de DiophanteN-N R-R J-N J-R J-J R-N
J J R N R-N R-N
N -2
R J
*a *b *c *d *e *f
+1 0
0 +1 -2
-1 -1 +1
+1 -1 -1
+1 -2 +1
0 0 0
N = 2010 -2a - c + d + e J = a + b - c - d - 2e R = -2b + c - d + e
Opérations “absorbantes” Opérations “neutres”
S’il ne reste que 3 boules, on a nécessairement effectué 2007 opérations absorbantes:
a + b + c + d = 2007 J = a + b - c - d - 2e = 2007 - 2(c + d + e) <> 0
impair - pair
s’il ne reste qu’ 1 boule, on a nécessairement effectué 2009 opérations absorbantes:
a + b + c + d = 2009 J = a + b - c - d - 2e = 2009 - 2(c + d + e) elle doit
être jaune.
De même,
Ce qui est possible mais pas en moins de 3012 opérations.
1005 NN + 502 JJ + (251 NN + 251 RR) + 251 JJ + (125 NN + 125 RR) + 125 JJ + (63 NN + 63 RR) + 63 JJ + (31 NN + 31 RR) + 31 JJ + (16 NN + 16 RR) + 16 JJ + (8 NN + 8 RR) + 8 JJ + (4 NN + 4 RR) + 4 JJ + (2 NN + 2 RR) + 2 JJ + (1 NN + 1 RR)
(0, 503, 0) (1, 251, 1) (0, 127, 0) (1 , 63 , 1) (0 , 33 , 0) (0 , 17 , 0) (0 , 9 , 0) (0 , 5 , 0) (0 , 3 , 0) + 1 JJ + (1 JR ou 1 JN)
et 1 NN ou 1 RR (0 , 1 , 0)
(2 , 0 , 0) ou (0 , 0 , 2)
N J R
Par exemple,
s’il reste un
nombre impair de boules, alors il reste un
nombre impair de jaunes.
Généralisation:
J = (2010 - impair) - 2(c + d + e)
impair - pair
