E539: Des boules aux couleurs belges
Une urne contient 2010 boules noires. A chaque tour, on tire deux boules. Si elles sont : - noires, on les remplace par une boule jaune,
- jaunes, on les remplace par une boule noire et une boule rouge, - rouges, on les remplace par une boule jaune,
- l’une noire et l’autre jaune, on les remplace par une boule rouge, - l’une rouge et l’autre jaune, on les remplace par une boule noire.
- l’une noire et l’autre rouge, on les remet dans l’urne.
Après un nombre fini d’opérations, il y a trois boules dans l’urne . Prouver que l’une au moins est jaune.
Est-il possible qu’après un nombre fini d’opérations, il y ait une seule boule dans l’urne ?
Affectons la valeur N=1 aux boules noires, J=2 aux boules jaunes, R=3 aux boules rouges et considérons la somme, modulo 4, des valeurs des boules contenues dans l’urne: on constate que chaque possibilité de tirage n’affecte pas la valeur de cette somme: en effet 2N=2R=J , 2J=N+R, N+J=R, R+J=N (mod 4).
Or la valeur initiale vaut 2, et il est impossible d’obtenir cette valeur avec trois boules de valeurs impaires (noires ou rouges): il y a donc au moins une boule jaune, les deux autres ayant une valeur nulle modulo 4, donc soit deux jaunes, soit une noire et une rouge (et si l’on a deux jaunes, on peut les transformer en une noire et une rouge).
En partant de la situation où l’urne contient trois boules (une de chaque couleur), on obtient deux noires en tirant jaune et rouge, puis une seule boule jaune en tirant les deux noires.
Si l’on part de la situation initiale, remarquons que si l’urne contient 5k boules noires, on peut obtenir une urne contenant k boules noires en transformant 2k couples de boules noires en 2k boules jaunes, k tirages d’une boule noire et d’une boule jaune en k boules rouges et k tirages d’une boule rouge et d’une boule jaune en k boules noires. Si nous avions initialement 5k+p boules noires, nous pouvons ainsi obtenir k+p boules noires.
On peut ainsi passer de 2010 à 402, puis 82, puis 18, puis 6, puis 2 boules noires, et enfin à une boule jaune.
