Des boules aux couleurs belges
Je suis en mesure de dire que « oui, il y a au moins une boule jaune lorsque l'urne n'en comporte plus que trois », je suis même en mesure d'affirmer qu'elle est la seule et que les deux autres sont forcément noires et rouges. Quand à savoir s'il est possible qu'il n'en reste plus qu'une seule, j'affirme que non seulement c'est possible, mais surtout qu'il est impossible qu'il en soit autrement, et que cette dernière boule est forcément jaune. Alors, cela peut paraître un peu culotté d'affirmer plus de vérités que ce qui est demandé dans l'enoncé, d'autant plus que je découvre ce site à l'instant et qu'il doit être fréquenté par des habitués de longue date face à qui je fais figure de bleu.
Veuillez me pardonner, c'est simplement que je suis obligé de démontrer les questions qui ne sont pas posées pour démontrer celles qui le sont.
La démonstration est la suivante. Je commence par me faire un récapitulatif visuel.
NN →J JJ N→ R RR →J NJ →R JR N N→ R N→ R On s'aperçoit que le nombre total de boulettes diminue d'une unité à chaque tour, sauf dans deux pioches, l'une qui remplace JJ par RN, l'autre qui ne change rien (pioche neutre). On s'aperçoit également que s'il n'y a pas de boulettes jaunes dans l'urne à un tour donné, il y en aura forcément une au tour suivant. Enfin, on s'aperçoit que seules les pioches qui soustraient ou ajoutent UNE SEULE boulette jaune correspondent à une diminution effective du total de boulettes dans l'urne.
Ce qui fait que le nombre des boulettes jaunes alternera entre pair et impair d'un tour sur l'autre à condition que le total diminue, ce qui revient à dire que le total alterne lui aussi entre pair et impair. Ces deux nombres évoluent en parrallèle. On a 2010 noires au départ. On a donc au tour suivant 2009 boulettes dont 2008 noires et une jaune. Donc, le nombre de boules jaunes sera toujours de même parité que le nombre total de boules, et seules les urnes contenant un nombre pair de boules pourront ne contenir aucune jaune.
Il y a donc toujours au moins une boule jaune dans une urne qui comporte un nombre total de boules impair. Ce qui est le cas pour total = 3.
Et c'est aussi le cas pour total=1. Il y a donc toujours une dernière boule et elle est jaune.
Rétroactivement, si le nombre de boules jaunes est toujours de même parité que le nombre total de boules, toutes les combinaisons qui sont susceptibles d'engendrer aux tours suivants une combinaison échappant à cette règle ne peuvent pas se produire. Ainsi RNJJ, comme NNRR, ne peut pas tomber, puisqu'elle peut engendrer (entre autres) RRJ et NNJ, qui elles-mêmes engendrent JJ, qui par contre n'engendre pas J (ce qui est en désaccord avec notre démonstration ci-dessus). Toute cette série de combinaisons ne peut donc pas être retenue.
C'est ainsi que l'on peut prouver que NJR est un passage obligé, puisque NJR engendre forcément J, et qu'elle est la seule combinaison de 3 boules à le faire. Et c'est ainsi que l'on peut prouver également que si l'urne comporte 4 boules, elle ne comporte que les combinaisons qui n'aboutissent qu'à et seulement à NJR, c'est a dire NRRR, NNNR, JJRR et JJNN. On peut ainsi remonter le cheminement des possibles aussi « facilement » qu'on peut le descendre.
Pour le reste, j'ai une admirable démonstration qui prouve que les couleurs du drapeau belge correspondent aux couleurs des bières brunes, blondes et ambrées, mais ça, c'est une autre histoire...
Très Cordialement - MR
