E539
1. Notons N (resp R) le nombre de boules noires (resp rouges). Au d´epart N +R = 2010 est pair. A chaque tour, la parit´e deN+R est conserv´ee car il ne peut varier que de +2, 0 ou -2. Quand il ne reste plus que 3 boules, N+R est donc ´egal `a 0 ou 2; par suite il y a au moins une boule jaune.
2. Il est possible d’arriver `a une seule boule qui est donc jaune. En effet les 2010 boules noires prises 2 par 2 donnent 1005 boules jaunes. Montrons qu’un nombre impair de boules jaunes peut donner une seule boule jaune. Si n ≥ 1, 2n+ 1 jaunes deviennent successivement 2n −1 jaunes, 1 noire et 1 rouge, puis 2n−2 jaunes et 2 rouges, puis 2n−1 jaunes. On peut donc transformer les 1005 boules jaunes en une seule boule jaune.
Il y a au total 1005 + 3×502 = 2511 tours.
1
