G150. Boules blanches, boules noires Problème proposé par Louis Rogliano
Dans une urne il y a N boules noires (N > 0) et B boules blanches (B > 0).
On utilise l'algorithme suivant jusqu'à ce que l'urne soit vide:
1) S'il reste des boules dans l'urne, on en prend une au hasard, on la jette et on continue en 2) 2) S'il reste des boules dans l'urne, on en prend une au hasard et on note sa couleur :
a) Si cette couleur est la même que celle de la dernière boule prise dans l'urne, on la jette et on continue en 2)
b) Sinon, on remet la boule dans l'urne et on continue en 1)
Question : Quelle est la probabilité pour que la dernière boule tirée soit blanche ?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Quels que soient N et B positifs, la probabilité vaut 1/2.
La démonstration se fait par récurrence sur le nombre total de boules, T := N+B.
Si T=2 (donc N=B=1) le résultat est évident.
Si T>2 on remarque que, quels que soient N et B strictement positifs, l’exécution des deux étapes de l’algorithme donne lieu à une urne avec B’ boules blanches et N’ boules noires avec:
i. L’urne restante ne contient que des boules blanches (B’=B,N’=0); les deux étapes suivantes videront l’urne et la dernière boule à sortir sera blanche.
ii. L’urne restante ne contient que des boules noires (B’=0,N’=N); ); les deux étapes suivantes videront l’urne et la dernière boule à sortir sera noire.
iii. L’urne restante contient à la fois des boules blanches et des boules noires (à la fois B’ et N’ sont positifs).
Les deux premiers cas ont la même probabilité car celle du premier cas vaut 1/C( N+B,N) tandis que celle du deuxième cas vaut 1/C(N+B,B) avec C(N+B,N)=C(N+B,B). Il en résulte que dans le troisième cas la probabilité d'avoir B'>0 et N'>0 est égale à 1 - 1/C(N+B,B) - 1/C(N+B,N) ) = 1 - 2/C(N+B,B) = 1 - 2/C(N+B,N). En raison de l'hypothèse de récurrence, avec B'>0 et N'>0 tels que B' + N' < B + N, on a une chance sur deux de tirer une dernière boule blanche comme de tirer une dernière boule noire. En conséquence la probabilité de tirer une dernière boule blanche avec initialement B boules blanches et N boules noires est égale à 1/C(N+B,N) + 1/2*[1 - 2/C(N+B,N)]
= 1/2. Même résultat pour le tirage d'une dernière boule noire.
