Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚6
Questions de cours
Question n˚ 1
D´efinition d’une racine carr´ee d’un nombre com- plexe, un nombre complexe non nul poss`ede deux racines carr´ees oppos´ees l’une de l’autre (preuve), d´etermination des racines carr´ees de −1 + √
3i, d´etermination des racines carr´ees de 154 −2i.
Question n˚ 2
Forme canonique de P =aX2+bX+c o`u (a, b, c)∈ C∗ ×C×C (calcul d´etaill´e), discriminant ∆ de P (d´efinition), r´e´ecriture de la forme canonique de P `a l’aide de ∆, th´eor`eme sur les racines de P (´enonc´e et preuve), r´esolution de l’´equationz2+z+4i = 0 d’in- connuez∈C.
Question n˚ 3
D´efinitions d’une racine n-i`eme de l’unit´e et de l’en- semble Un (n ∈ N≥2) ; propri´et´es de l’ensemble Un
(n∈N≥2) (´enonc´e et preuve) ; description en extension de l’ensembleUn(n∈N≥2) (´enonc´e) et repr´esentation graphique ; r´esolution de l’´equationz7=z d’inconnue z∈C.
Question n˚ 4
D´efinition des racines n-i`emes d’un nombre complexe non nul (n ∈ N≥2) ; recherche th´eorique des racines n-i`emes d’un nombre complexe non nul (n ∈ N≥2) (expos´e de la m´ethode donn´ee en cours) ; r´esolution de l’´equationz6=−8idansC.
Chap. 1 − Nombres complexes et trigonom´ etrie
• D´efinition et propri´et´es alg´ebriques des nombres complexes de module 1.
• Tout nombre complexe de module 1 s’´ecrit sous la formeeiθ= cos(θ) +isin(θ), o`uθ∈R.
• Cas d’´egalit´e de deux nombres de la forme eiθ (θ∈R).
• Propri´et´es des nombreseiθ (θ∈R).
• Formules d’Euler.
• Formules d’addition et de duplication pour cosi- nus et sinus.
• Angle moiti´e : pour tout t ∈ R, on a 1 +eit = 2 cos(2t)ei2t et 1−eit=−2isin(2t)eit2.
• Transformation d’un produit en somme pour co- sinus et sinus (et r´eciproquement)
• Fonction tangente : d´efinition, plusieurs ´ecritures de son domaine de d´efinition, valeurs remar- quables, parit´e, p´eriodicit´e, formule d’addition.
• Factorielle d’un entier : d´efinition, relation de r´ecurrence.
• Coefficients binomiaux : d´efinition, propri´et´es (e.g. relation de sym´etrie et relation de Pascal), triangle de Pascal.
• Formule du binˆome de Newton.
• Exemples de lin´earisations de polynˆomes en cos(θ), sin(θ), o`uθ∈R.
• Formule de Moivre.
• Valeur de Xn
k=0
qk, o`u (n, q)∈N×C.
• Exemples de calculs de sommes trigo- nom´etriques.
• D´efinition d’une forme exponentielle d’un nombre complexe non nul.
• Une m´ethode pour rechercher une forme expo- nentielle d’un nombre complexe non nul.
• D´efinition d’un argument d’un nombre complexe non nul, d´efaut d’unicit´e d’un argument d’un nombre complexe non nul.
• D´efinition du symbole arg(z), o`u z∈C∗.
• Utilisation du symbole arg(z) (z ∈ C∗) et rela- tion de congruence modulo 2πsurR.
• Cas d’´egalit´e de deux formes trigonom´etriques.
• Propri´et´es des arguments.
• Transformation deacos(t) +bsin(t) o`u (a, b, t)∈ R3.
• Racines carr´ees d’un nombre complexe non nul : d´efinition, un nombre complexe non nul poss`ede deux racines carr´ees oppos´ees l’une de l’autre, m´ethode de calul des racines carr´ees d’un nombre complexe non nul donn´e sous forme exponentielle (resp. alg´ebrique).
• Polynˆome du second degr´e `a coefficients com- plexes : forme canonique, discriminant, th´eor`eme sur les racines.
• Somme et produit des racines d’un polynˆome du second degr´e `a coefficients complexes.
• D´etermination de deux nombres complexes connaissant leurs somme et produit.
• Racine n-i`eme d’un nombre r´eel positif ou nul (n∈N≥2) : d´efinition, propri´et´es alg´ebriques.
• Extractions successives de racines d’un nombre r´eel positif ou nul.
• D´efinitions d’une racinen-i`eme de l’unit´e et de l’ensembleUn (n∈N≥2).
• Propri´et´es de l’ensembleUn (n∈N≥2) : 1∈Un
et Un est stable par conjugaison (resp. par pas- sage `a l’inverse, par multiplication).
• Description en extension de l’ensemble Un (n∈ N≥2) et repr´esentation graphique.
• D´efinition des racinesn-i`emes d’un nombre com- plexe non nul (n∈N≥2).
• Recherche th´eorique des racines n-i`emes d’un nombre complexe non nul (n∈N≥2).
• D´efinition de l’exponentielle d’un nombre com- plexe.
• Relation fonctionnelle de l’exponentielle com- plexe.
• Cas d’´egalit´e de deux exponentielles complexes.
