Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚24
Questions de cours
Question n˚ 1 : Th´eor`eme de la limite monotone (´enonc´e g´en´eral, preuve dans le cas o`u la suite est croissante et major´ee) ; comportement asymptotique de la suite
n
X
k=1
1 k
!
n≥1
(´enonc´e et preuve).
Question n˚ 2 :Division euclidienne d’un entier na- turel par un entier naturel non nul (´enonc´e) ; d´efinition du PGCD de deux entiers naturels non nuls ; trois pro- pri´et´es du PGCD de deux entiers naturels non nuls (´enonc´e et preuve) ; calcul du PGCD de 715 et 546 par l’algorithme d’Euclide.
Question n˚ 3 : Th´eor`eme de B´ezout (´enonc´e) ; lemme de Gauß (´enonc´e et preuve) ; r´esolution de l’´equation 148x+ 115y= 1 d’inconnue (x, y)∈Z2. Question n˚ 4 : D´efinition d’un nombre premier ; toutn∈N≥2 poss`ede un diviseur premier (preuve) ; il existe une infinit´e de premiers (preuve) ; d´ecomposition en produit de facteurs premiers de 594 et 495, puis cal- cul de PGCD(594,495) et PPCM(594,495).
Question n˚ 5 : Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique (deux formulations) ; d´efinition de la valuationp-adique d’un entier naturel non nul ; crit`ere d’´egalit´e via les valuations p-adiques (´enonc´e) ; le nombre√
37 est irrationnel (preuve).
Chap. 9 − Suites r´ eelles
• Th´eor`eme de convergence par encadrement.
• Th´eor`eme de divergence vers +∞par minora- tion.
• Th´eor`eme de divergence vers −∞par majora- tion.
• Th´eor`eme de la limite monotone.
• D´efinition de deux suites adjacentes.
• Th´eor`eme des suites adjacentes.
Chap. 10 − Arithm´ etique dans N
• D´efinitions d’un diviseur et d’un multiple d’un entier naturel.
• Lien entre diviseur et multiple.
• La relation de divisibilit´e sur N est une rela- tion d’ordre (i.e. est r´eflexive, antisym´etrique et transitive).
• Division euclidienne d’un entier naturel par un entier naturel non nul.
• Crit`ere de divisibilit´e via la division euclidienne.
• D´efinition du PGCD et du PPCM de deux en- tiers naturels non nuls.
• D´efinition de deux nombres entiers naturels non nuls premiers entre eux.
• Propri´et´es du PGCD (sym´etrie, cas o`u le plus petit des deux nombres divise l’autre, cas o`u le plus petit des deux nombres ne divise pas l’autre).
• Algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD et ≪remont´ee≫ pour obtenir une re- lation de B´ezout.
• Th´eor`eme de B´ezout.
• Lemme de Gauß.
• L’´equation ax+by = PGCD(a, b) d’inconnue (x, y)∈Z2, o`u (a, b)∈(N∗)2est fix´e.
• D´efinition d’un nombre premier.
• Toutn∈N≥2admet un diviseur premier.
• Il existe une infinit´e de nombres premiers.
• Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique.
• D´efinition de la notation Y
p∈P
pαpo`u (αp)p∈Pest une famille presque nulle de nombres entiers na- turels indic´eeP.
• Produit de Y
p∈P
pαp par Y
p∈P
pβp o`u (αp)p∈P et (βp)p∈P sont deux familles presque nulles de nombres entiers naturels indic´eesP.
• Reformulation du th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique `a l’aide de la notation Y
p∈P
pαp.
• D´efinition de la valuation p-adique d’un entier naturel non nul (p∈ P).
• Crit`ere d’´egalit´e via les valuationsp-adiques.
• Application `a l’´etude de la rationnalit´e de la ra- cine carr´ee d’un entier naturel.
• Crit`ere de divisibilit´e via les valuations p- adiques.
• PGCD et PPCM de deux entiers naturels non nuls via leurs d´ecompositions en produits de fac- teurs premiers.
• PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = ab pour tout (a, b)∈(N∗)2.
