Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚9
Questions de cours
Question n˚ 1
D´efinition de l’inclusion d’un ensemble dans un autre ; d´efinition de l’´egalit´e de deux ensembles ; d´efinition de l’ensemble des parties d’un ensemble ; despcription en extension de P(E) lorsque E est l’ensemble `a trois
´el´ements{a, b, c}; preuve de l’´egalit´e suivante.
{(x, y)∈R2|3x−4y+5 = 0}={(5+4t,5+3t)|t∈R}
Question n˚ 2
D´efinition et diagramme de Venn du compl´ementaire d’une partie d’un ensemble ; d´efinitions et diagrammes de Venn de la r´eunion et de l’intersection de deux par- ties d’un ensemble ; les 18 propri´etes des op´erations (passage au compl´ementaire, r´eunion, intersection) sur les parties d’un ensemble (´enonc´e, preuve d’une des lois de Morgan pour les ensembles et preuve d’une des relations de distributivit´e) ; conjecture sur l’in- tersection de A = {z ∈ C | zest imaginaire pur} et B ={z∈C| |z−1 +i|=√
2}par voie graphique et preuve de l’´egalit´e entre ensembles conjectur´ee.
Question n˚ 3
Les 7 propri´et´es liant inclusion et op´erations sur les parties d’un ensemble (´enonc´e, preuve de celle relative au passage au compl´ementaire, preuve des trois rela- tives `a la r´eunion) ; d´efinition de la notion d’applica- tion ; d´efinition du graphe d’une application ; d´efinition de l’application identit´e d’un ensemble ; d´efinition de la compos´ee de deux applications ; ´ecriture de l’appli- cation
f: ]− ∞,2[→R; x7→ 1
√3−x−1 comme compos´ee de trois applications≪usuelles≫.
Question n˚ 4
D´efinition d’une application injective (via 3 condi- tions ´equivalentes) ; composition et injectivit´e (´enonc´e et preuve) ; d´efinition d’une application surjective (via 3 conditions ´equivalentes) ; composition et surjectivit´e (´enonc´e et preuve) ; preuve du fait que l’application
f: [−2,+∞[→[1,+∞[ ; x7→x2+ 2x+ 2 est bien d´efinie, non injective et surjective.
Question n˚ 5
D´efinition d’une application bijective (via 3 conditions
´equivalentes) ; d´efinition de l’application r´eciproque d’une bijection ; propri´et´es de l’application r´eciproque d’une bijection (´enonc´e et preuve) ; compos´ee et bijec- tion (´enonc´e) ; application r´eciproque d’une compos´ee de deux bijections (´enonc´e et preuve) ; preuve de la bijectivit´e de l’application
f:R2→R2; (x1, x2)7→(3x1+ 2x2,3x1+ 5x2)
et calcul def−1.
Chap. 2 − Logique, ensembles et applications
• D´efinitions de l’inclusion d’un ensemble dans un autre et de l’´egalit´e de deux ensembles.
• D´efinitions d’une partie d’un ensemble et de l’en- semble des parties d’un ensemble.
• Tout ensemble poss`ede deux parties naturelles : lui-mˆeme et∅.
• D´efinition du compl´ementaire d’une partie d’un ensemble.
• D´efinitions de la r´eunion et de l’intersection de deux parties d’un ensemble.
• Propri´etes des op´erations (passage au compl´ementaire, r´eunion, intersection) sur les parties d’un ensemble (e.g. si A est une partie d’un ensemble E alors (A) = A, lois de Mor- gan pour les ensembles et distributivit´e de∩par rapport `a ∪).
• Propri´et´es liant inclusion et op´erations sur les en- sembles (e.g. si A et B sont deux parties d’un ensembleE, alorsA⊂A∪B et on aA∪B=A si et seulement siB⊂A).
• Produit cart´esien de deux ensembles.
• Produit cart´esien d’un nombre fini d’ensembles.
• D´efinition d’une application.
• Crit`ere d’´egalit´e de deux applications.
• D´efinition du graphe d’une application.
• D´efinition de l’ensemble des applications d’un en- sembleEdans un ensembleF(notationF(E, F) ouFE).
• D´efinition de l’application identit´e d’un en- semble.
• D´efinition de la restriction d’une application `a une partie de son ensemble de d´epart.
• D´efinition de la compos´ee de deux applications.
• Sif:E→F est une application, alorsf◦idE = f et idF◦f =f.
• Le produit de composition est associatif.
• D´efinition d’une application injective.
• Une compos´ee d’applications injectives est injec- tive.
• D´efinition d’une application surjective.
• Une compos´ee d’applications surjectives est sur- jective.
• D´efinition d’une application bijective.
• Propri´et´es de l’application r´eciproque d’une bi- jection.
• Si E est un ensemble alors l’applicationidE est bijective et (idE)−1=idE.
• La compos´ee de deux applications bijectives est bijective.
• Application r´eciproque d’une compos´ee de deux bijections.
