Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°7
Questions de cours
Question n°1
Définition de l’inclusion d’un ensemble dans un autre ; définition de l’égalité de deux ensembles ; définition d’une partie d’un ensemble ; démonstration de
{(2−t,t+1) :t∈R}=©
(x,y)∈R2:x+y−3=0ª puis interprétation géométrique du résultat.
Question n°2
Complémentaire d’une partie d’un ensemble, réunion de deux parties d’un ensemble, intersection de deux par- ties d’un ensemble : 3 définitions illustrées avec des dia- grammes de Venn ; lois de Morgan pour les ensembles (énoncé et démonstration) ; détermination de l’intersec- tion
{(t−1,t+2) :t∈R}∩©
(x,y)∈R2: 2x−3y+5=0ª puis interprétation géométrique du résultat.
Question n°3
Définition d’une application ; définition de la composée de deux applications ; la composée de deux applications affines deRdansRest une application affine (preuve) ; écriture de l’application
¯
¯
¯
¯
f : [−1,1] → R
x 7→ p
1−x2
comme la composée de deux applications « usuelles ».
Question n°4
Définition d’une application injective (trois formula- tions) ; composée de deux applications injectives (énoncé et preuve) ; étude de l’injectivité de l’application
¯
¯
¯
¯
f : ©
(x1,x2)∈R2:x1>x2ª
→ R2
(x1,x2) 7→ (x1+x2,x1x2).
Question n°5
Définition d’une application surjective (trois formu- lations) ; composée de deux applications surjectives (énoncé et preuve) ; étude de la surjectivité des applica- tions
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ x2 et
¯
¯
¯
¯
f : C → C
z 7→ z2.
Logique, ensembles et applications
• Définitions d’une proposition logique et de la va- leur de vérité d’une telle.
• Définition d’un prédicat.
• Définition des deux quantificateurs∀et∃.
• Définitions d’une proposition logique quantifiée et de la valeur de vérité d’une telle.
• Définition des connecteurs logiques non, ou, et.
• Négation d’une proposition logique quantifiée.
• Propriétés des connecteurs logiques non, ou, et.
• Implication : définition, négation, contraposée, réciproque.
• Définition d’une condition nécessaire (resp. suffi- sante).
• Définition d’une équivalence.
• Une équivalence est vraie si et seulement si les deux propriétés ont la même valeur de vérité.
• Raisonnement par récurrence, raisonnement par contraposition, raisonnement par l’absurde et rai- sonnement par analyse-synthèse.
• Notions d’ensemble et d’appartenance.
• Ensemble défini en sélectionnant certains élé- ments d’un ensemble donné.
• Ensemble décrit de manière paramétrique.
• Ensemble vide.
• Inclusion d’un ensemble dans un autre.
• Égalité de deux ensembles.
• Parties d’un ensemble et ensemble des parties d’un ensemble.
• Opérations sur les parties d’un ensemble (com- plémentaire, réunion, intersection) : définitions et propriétés.
• Propriétés liant inclusion entre ensembles et opé- rations sur les parties d’un ensemble.
• Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles.
• Notion d’application.
• Antécédent d’un élément du but par une applica- tion.
• Égalité de deux applications.
• Graphe d’une application.
• Ensemble des applications d’un ensemble dans un autre.
• Application identité d’un ensemble.
• Restriction d’une application.
• Composition de deux applications (définition, as- sociativité, défaut de commutativité).
• Composition d’une application par l’application identité.
• Trois définitions d’une application injective : for- mellement, en termes de nombre de solutions d’équations, en termes de nombre d’antécédents.
• La composée de deux applications injectives est injective.
• Trois définitions d’une application surjective : for- mellement, en termes de nombre de solutions d’équations, en termes de nombre d’antécédents.
• La composée de deux applications surjectives est surjective.
• Définition d’une application bijective.
• Définition de l’application réciproque d’une ap- plication bijective.
