Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°5
Questions de cours
Question n°1
Existence d’une forme exponentielle pour un nombre complexe non nul (énoncé et preuve) ; cas d’égalité de deux formes exponentielles (énoncé) ; définition et in- terprétation géométrique d’un argument d’un nombre complexe non nul ; définition de la notation arg(z) pour z∈C∗; propriétés algébriques des arguments (énoncé et preuve) ; interprétation en termes de nombres complexes d’une mesure de l’angle orienté³−→
AB,−−→ C D´
où A,B,C, et D sont quatre points du plan tels que A6=B etC 6=D (énoncé) ; résolution de l’équation z2+(1−i)z−i =0 d’inconnuez∈C.
Question n°2
Définition d’une racine carrée d’un nombre complexe ; théorème sur les racines carrées d’un nombre com- plexe non nul (énoncé et preuve) ; théorème sur la ré- solution d’une équation du second degré à coefficients complexes (énoncé et preuve) ; résolution de l’équation z3+z2+z+1=0 d’inconnuez∈C.
Question n°3
Définitions d’une racine n-ième de l’unité et de l’en- semble Un, où n ∈ N≥2; théorème sur la description en extension de l’ensembleUn, où n ∈N≥2 (énoncé et preuve) ; résolution de l’équation ez = −1, d’inconnue z∈C.
Question n°4
Définition de l’exponentielle d’un nombre complexe (ex- plication des termes introduits) ; relation fonctionnelle de l’exponentielle complexe (énoncé, admise) ; cas d’égalité de deux exponentielles complexes (énoncé et preuve) ; résolution de l’équationz4+4z3+6z2+4z+65=0, d’in- connuez∈C.
Question n°5
Définition d’une implication ; théorème sur la négation d’une implication (énoncé et preuve) ; définition de la contraposée d’une implication ; théorème sur la contra- posée d’une implication (énoncé et preuve) ; définition de la réciproque d’une implication ; démonstration de
∀x∈]−∞, 1[, ∀y∈]−∞, 1[, x6=y⇒x2−2x+26=y2−2y+2.
Nombres complexes et trigonométrie
• Formes exponentielles d’un nombre complexe non nul : existence, lien avec le module, une mé- thode de calcul d’une forme explicite lorsque cela est possible.
• Argument d’un nombre complexe non nul : défini- tion, interprétation géométrique en termes de me- sures d’angle, défaut d’unicité, notation arg, pro- priétés algébriques des arguments.
• Cas d’égalité de deux formes exponentielles.
• Transformation deacos(t)+bsin(t), avec (a,b)∈ R2enAcos(t−ϕ), avec (A,ϕ)∈R≥0×R.
• Définition d’une racine carrée d’un nombre com- plexe.
• Théorème sur les racines carrées d’un nombre complexe non nul.
• Une méthode pratique pour calculer les deux ra- cines carrées d’un nombre complexe non nul.
• Forme canonique d’un polynôme du second degré à coefficients complexes.
• Définition du discriminant d’un polynôme du se- cond degré à coefficients complexes.
• Théorème sur la résolution d’une équation du se- cond degré à coefficients complexes.
• Théorème sur la somme et le produit des racines d’une équation du second degré à coefficients complexes.
• Détermination de deux nombres complexes connaissant leur somme et leur produit.
• Définition d’une racinen-ième et de l’ensemble Un⊂U, oùn∈N≥2.
• Description explicite deU2,U3etU4.
• Propriétés de l’ensembleUn, oùn∈N≥2: 1∈Un, stabilité par conjugaison, stabilité par multiplica- tion, stabilité par passage à l’inverse.
• Théorème sur la description en extension de l’en- sembleUn, oùn∈N≥2.
• Définition d’une racinen-ième d’un nombre com- plexe non nul, oùn∈N≥2.
• Recherche théorique des racines n-ièmes d’un nombre complexe non nul, oùn∈N≥2.
• Définition de l’exponentielle d’un nombre com- plexe.
• Relation fonctionnelle vérifiée par l’exponentielle complexe (admise).
• Cas d’égalité de deux exponentielles complexes.
Logique
• Définitions d’une proposition logique et de la va- leur de vérité d’une telle.
• Définition d’un prédicat.
• Définition des deux quantificateurs∀et∃.
• Définitions d’une proposition logique quantifiée et de la valeur de vérité d’une telle.
• Définition des connecteurs logiques non, ou, et.
• Négation d’une proposition logique quantifiée.
• Propriétés des connecteurs logiques non, ou, et.
• Implication : définition, négation, contraposée, réciproque.
• Définition d’une condition nécessaire (resp. suffi- sante).
• Définition d’une équivalence.
• Une équivalence est vraie si et seulement si les deux propriétés ont la même valeur de vérité.
