Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°1
Questions de cours
Question n°1
Définition d’un nombre complexe inversible et de l’in- verse d’un tel (preuve de l’unicité de l’inverse d’un nombre complexe inversible) ; inversibilité et inverse d’un nombre complexe non nul (énoncé et preuve) ; cal- cul de l’inverse dez:= −2+5i.
Question n°2
Définition et interprétation géométrique du conjugué d’un nombre complexe ; propriétés de la conjugaison complexe (énoncé, preuve des propriétés liées à la mul- tiplication, à l’inverse, au quotient) ; calculer la forme algébrique dez:=31+−72ii.
Question n°3
Pour toutz∈C, Re(z)≤ |z|(preuve) ; inégalité triangulaire (énoncé et preuve de l’inégalité de droite) ; cas d’égalité dans l’inégalité de droite (énoncé) ; siMest un point du plan situé sur le cercle de centreΩ(−3+3i) et de rayon 2, alors 3p
2−2≤O M≤3p
2+2 (preuve).
Nombres complexes et trigonométrie
• Existence et unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe.
• Définitions de la partie réelle et de la partie imagi- naire d’un nombre complexe.
• Définition d’un nombre complexe imaginaire pur.
• Caractérisation des nombres réels (resp. imagi- naires purs) parmi les nombres complexes via la partie imaginaire (resp. la partie réelle).
• Point du plan associé à un nombre complexe, af- fixe d’un point du plan, identification deCavec le plan usuel.
• Définitions et propriétés de l’addition et de la mul- tiplication dansC.
• Trois identités remarquables dansC.
• Définition d’un nombre complexe inversible et de l’inverse d’un tel.
• Un nombre complexe non nul est inversible.
• Expression de la forme algébrique de l’inverse d’un nombre complexe non nul.
• Cest intègre.
• Définition et interprétation géométrique du conjugué d’un nombre complexe.
• Caractérisation des nombres réels (resp. des nombres imaginaires purs) parmi les nombres complexes via la conjugaison.
• Propriétés de la conjugaison complexe.
• Affixe d’un vecteur, affixe d’un bipoint, vecteur as- socié à un nombre complexe.
• Définition et interprétation géométrique du mo- dule d’un nombre complexe.
• Module versus valeur absolue pour un nombre réel.
• Le module d’un nombre complexe est égal à celui de son conjugué.
• Équation complexe d’un cercle (resp. d’un disque fermé).
• Lien entre module et conjugué.
• Multiplicativité du module, module de l’inverse d’un inversible, module d’un quotient.
• Inégalité(s) triangulaire(s) et cas d’égalité.
• Propriété de séparation du module.
• Définition géométrique du revêtementρdu cercle unitéC par la droite réelleR.
• Propriétés de l’application ρ (e.g. condition né- cessaire et suffisante pour que deux réels aient la même image parρ).
• Définitions du cosinus et du sinus d’un nombre réel.
• Relation de Pythagore liant cosinus et sinus.
• Calculs des valeurs de cos(x) et sin(x) pour x ∈
©0,π4,π3,π2,0ª .
