Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°3
Questions de cours
Question n°1
Relation fonctionnelle pour les nombreseiθ, où θ∈ R (énoncé) ; formules d’addition pour cos et sin (énoncé et preuve) ; transformation d’un produit en somme pour cos (énoncé et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonc- tionf :R→R;x7→cos2(x)cos(5x).
Question n°2
Formules d’Euler (énoncé et preuve) ; angle moitié : fac- torisation deei a±eib où a et b sont réels (énoncé et preuve) ; calcul de Re¡ 1
1−z
¢pourz∈U\ {1}.
Question n°3
Définition de la factorielle d’un entier ; relation de récur- rence pour les factorielles (énoncé et explication) ; défi- nition des coefficients binomiaux ; propriétés des coeffi- cients binomiaux (énoncé et preuve) ; formule de Moivre (énoncé et preuve par récurrence) ; calcul de la forme al- gébrique de¡
−1+ip 3¢n
pour toutn∈N.
Question n°4
Formule du binôme de Newton (énoncé et preuve par récurrence) ; développement de (2−i)6à l’aide de la pré- cédente formule ; calcul de la somme des coefficients binomiaux se trouvant une ligne du triangle de Pascal.
Question n°5
Formules d’addition pour tangente (énoncé et preuve) ; somme de termes en progression géométrique (preuve en manipulant le symbole sommatoireΣ) ; calcul de la somme
n
X
k=0
cos µ2kπ
n +ϕ
¶
oùn∈N∗etϕ∈R.
Nombres complexes et trigonométrie
• Cosinus et sinus d’un nombre réel : définitions, re- lation de Pythagore, valeurs remarquables.
• Fonction cosinus : définition, parité, 2π- périodicité.
• Fonction sinus : définition, imparité, 2π- périodicité.
• Effets de quelques transformations affines sur cos et sin.
• Cas d’égalité de deux cosinus (resp. de deux sinus).
• Équations et inéquations trigonométriques.
• L’ensembleUdes nombres complexes de module 1 : définition, image dans le plan, propriétés (e.g.
stabilité par multiplication) ; tout z ∈ U s’écrit d’une unique manière sous la formeeiθ:=cos(θ)+ isin(θ) oùθ∈]−π,π].
• Cas d’égalité de deux nombres de la formeeiθ, où θ∈R.
• Propriétés des nombres eiθ, oùθ ∈R: module, conjugué, inversibilité et inverse, relation fonc- tionnelle (admise).
• Formules d’Euler.
• Formules d’addition (resp. de duplication) pour cos et sin.
• Transformation d’un produit en somme pour cos et sin et application au calcul de primitives.
• Angle moitié : factorisation deei a±eib, oùaetb sont réels.
• Transformation d’une somme en produit pour co- sinus et sinus.
• Fonction tangente : définition, deux écritures de son ensemble solution, imparité,π-périodicité.
• Formules d’addition pour tangente.
• Factorielle d’un entier : définition, relation de ré- currence.
• Coefficients binomiaux : définition, relations de symétrie, coefficients binomiaux aux extrémités d’une ligne du triangle de Pascal, relations de Pas- cal, triangle de Pascal.
• Formule du binôme de Newton (preuve par récur- rence).
• Polynômes en cos(θ), sin(θ), oùθ∈R: définition, linéarisation.
• Formule de Moivre (preuve par récurrence).
• Somme de termes en progression géométrique (preuve en manipulant le symbole sommatoireΣ).
• Formes exponentielles d’un nombre complexe non nul : existence, lien avec le module, une mé- thode de calcul d’une forme explicite lorsque cela est possible.
• Argument d’un nombre complexe non nul : défini- tion, interprétation géométrique en termes de me- sures d’angle, défaut d’unicité, notation arg.
