Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°6
Questions de cours
Question n°1
Définitions d’une racine n-ième de l’unité et de l’en- semble Un, où n ∈ N≥2; théorème sur la description en extension de l’ensembleUn, où n ∈N≥2 (énoncé et preuve) ; résolution de l’équation ez = −1, d’inconnue z∈C.
Question n°2
Définition de l’exponentielle d’un nombre complexe (ex- plication des termes introduits) ; relation fonctionnelle de l’exponentielle complexe (énoncé, admise) ; cas d’égalité de deux exponentielles complexes (énoncé et preuve) ; résolution de l’équationz4+4z3+6z2+4z+65=0, d’in- connuez∈C.
Question n°3
Définition d’une implication ; théorème sur la négation d’une implication (énoncé et preuve) ; définition de la contraposée d’une implication ; théorème sur la contra- posée d’une implication (énoncé et preuve) ; définition de la réciproque d’une implication ; démonstration de
∀x∈]−∞,1[, ∀y∈]−∞,1[, x6=y⇒x2−2x+26=y2−2y+2.
Question n°4
Définition de l’inclusion d’un ensemble dans un autre ; définition de l’égalité de deux ensembles ; définition d’une partie d’un ensemble ; démonstration de
{(2−t,t+1) :t∈R}=©
(x,y)∈R2:x+y−3=0ª puis interprétation géométrique du résultat.
Question n°5
Complémentaire d’une partie d’un ensemble, réunion de deux parties d’un ensemble, intersection de deux par- ties d’un ensemble : 3 définitions illustrées avec des dia- grammes de Venn ; lois de Morgan pour les ensembles (énoncé et démonstration) ; détermination de l’intersec- tion
{(t−1,t+2) :t∈R}∩©
(x,y)∈R2: 2x−3y+5=0ª puis interprétation géométrique du résultat.
Nombres complexes et trigonométrie
• Définition d’une racine n-ième et de l’ensemble Un⊂U, oùn∈N≥2.
• Description explicite deU2,U3etU4.
• Propriétés de l’ensembleUn, oùn∈N≥2: 1∈Un, stabilité par conjugaison, stabilité par multiplica- tion, stabilité par passage à l’inverse.
• Théorème sur la description en extension de l’en- sembleUn, oùn∈N≥2.
• Définition d’une racinen-ième d’un nombre com- plexe non nul, oùn∈N≥2.
• Recherche théorique des racines n-ièmes d’un nombre complexe non nul, oùn∈N≥2.
• Définition de l’exponentielle d’un nombre com- plexe.
• Relation fonctionnelle vérifiée par l’exponentielle complexe (admise).
• Cas d’égalité de deux exponentielles complexes.
Logique et ensembles
• Définitions d’une proposition logique et de la va- leur de vérité d’une telle.
• Définition d’un prédicat.
• Définition des deux quantificateurs∀et∃.
• Définitions d’une proposition logique quantifiée et de la valeur de vérité d’une telle.
• Définition des connecteurs logiques non, ou, et.
• Négation d’une proposition logique quantifiée.
• Propriétés des connecteurs logiques non, ou, et.
• Implication : définition, négation, contraposée, réciproque.
• Définition d’une condition nécessaire (resp. suffi- sante).
• Définition d’une équivalence.
• Une équivalence est vraie si et seulement si les deux propriétés ont la même valeur de vérité.
• Raisonnement par récurrence, raisonnement par contraposition, raisonnement par l’absurde et rai- sonnement par analyse-synthèse.
• Notions d’ensemble et d’appartenance.
• Ensemble défini en sélectionnant certains élé- ments d’un ensemble donné.
• Ensemble décrit de manière paramétrique.
• Ensemble vide.
• Inclusion d’un ensemble dans un autre.
• Égalité de deux ensembles.
• Parties d’un ensemble et ensemble des parties d’un ensemble.
• Opérations sur les parties d’un ensemble (com- plémentaire, réunion, intersection) : définitions et propriétés.
• Propriétés liant inclusion entre ensembles et opé- rations sur les parties d’un ensemble.
• Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles.
