Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°8
Questions de cours
Question n°1
Définition d’une application ; définition de la composée de deux applications ; la composée de deux applications affines deRdansRest une application affine (preuve) ; écriture de l’application
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f : [−1,1] → R
x 7→ p
1−x2
comme la composée de deux applications « usuelles ».
Question n°2
Définition d’une application injective (trois formula- tions) ; composée de deux applications injectives (énoncé et preuve) ; étude de l’injectivité de l’application
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f : ©
(x1,x2)∈R2:x1>x2ª
→ R2
(x1,x2) 7→ (x1+x2,x1x2).
Question n°3
Définition d’une application surjective (trois formu- lations) ; composée de deux applications surjectives (énoncé et preuve) ; étude de la surjectivité des applica- tions
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f : R → R
x 7→ x2 et
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f : C → C
z 7→ z2.
Question n°4
Définition d’une application bijective (trois formula- tions) ; bijectivité de la composée de deux applications bijectives et expression de l’application réciproque de la composée (énoncé et preuve) ; caractère bien défini, bi- jectivité et application réciproque de l’application
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f : R\ {5} → R\ {−2}
x 7→ 3−2x
x−5 . Question n°5
Définition de l’image directe d’une partie de la source d’une application ; définition de l’image réciproque d’une partie du but d’une application ; propriétés des images directes et des images réciproques relativement à l’in- clusion, la réunion et l’intersection (énoncé de toutes, preuve de deux d’entre elles au choix de l’interroga- trice/teur) ; détermination def(R) oùf est l’application
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f : R → R
x 7→ x2−x+2 après une conjecture graphique.
Logique, ensembles et applications
• Notions d’ensemble et d’appartenance.
• Ensemble défini en sélectionnant certains élé- ments d’un ensemble donné.
• Ensemble décrit de manière paramétrique.
• Ensemble vide.
• Inclusion d’un ensemble dans un autre.
• Égalité de deux ensembles.
• Parties d’un ensemble et ensemble des parties d’un ensemble.
• Opérations sur les parties d’un ensemble (com- plémentaire, réunion, intersection) : définitions et propriétés.
• Propriétés liant inclusion entre ensembles et opé- rations sur les parties d’un ensemble.
• Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles.
• Notion d’application.
• Antécédent d’un élément du but par une applica- tion.
• Égalité de deux applications.
• Graphe d’une application.
• Ensemble des applications d’un ensemble dans un autre.
• Application identité d’un ensemble.
• Restriction d’une application.
• Composition de deux applications (définition, as- sociativité, défaut de commutativité).
• Composition d’une application par l’application identité.
• Trois définitions d’une application injective : for- mellement, en termes de nombre de solutions d’équations, en termes de nombre d’antécédents.
• La composée de deux applications injectives est injective.
• Trois définitions d’une application surjective : for- mellement, en termes de nombre de solutions d’équations, en termes de nombre d’antécédents.
• La composée de deux applications surjectives est surjective.
• Définition d’une application bijective.
• Définition de l’application réciproque d’une ap- plication bijective.
• Propriétés la réciproquef−1d’une application bi- jective f : f ◦f−1, f−1◦f, f−1 est bijective et (f−1)−1=f.
• SiEest un ensemble,i dEest bijective et (i dE)−1= i dE.
• Bijectivité de la composée de deux applications bi- jectives et expression de l’application réciproque de la composée.
• Définition de l’image directe d’une partie de la source d’une application.
• Définition de l’image réciproque d’une partie du but d’une application.
• Propriétés des images directes et des images réci- proques relativement à l’inclusion, la réunion et l’intersection.
