Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°18
Questions de cours
Question n°1 :Produit matriciel : définition, propriétés (énoncé) ; matrices diagonales (resp. triangulaires) : dé- finition formelle ; produit de deux matrices diagonales (énoncé et preuve) ; propriétés de stabilité de Tn(K) (énoncé de toutes, preuve pour la loi×).
Question n°2 :Matrices de permutation (resp. de dilata- tion, de transvection) : définition, effet de la multiplica- tion d’une matrice par une matrice de permutation (resp.
de dilatation, de transvection) à gauche, inversibilité et inverse d’une matrice de permutation (resp. de dilata- tion, de transvection). Seuls des énoncés sont demandés dans cette question de cours, pour laquelle un exposé particulièrement « tonique » est attendu.
Question n°3 :Définition d’une matrice inversible et de l’inverse d’une telle ; définition deGLn(K) ; stabilité de GLn(K) par passage à l’inverse et inverse de l’inverse d’une matrice inversible (énoncé et preuve) ; stabilité deGLn(K) par multiplication et inverse d’un produit de deux matrices inversibles (énoncé et preuve).
Question n°4 : Traduction matricielle de la relation d’équivalence ∼
L entre matrices de même format ; tra- duction matricielle du théorème de Gauß-Jordan ; affai- blissement de la condition d’inversibilité : l’inversibilité à droite (resp. à gauche) implique l’inversibilité (énoncé et preuve, en énonçant auparavant le lemme utilisé dans le cours).
Question n°5 :Théorème fondamental sur l’inversibilité (critères via le rang, via∼
L In, via des systèmes linéaires) (énoncé) ; définition de la transposée de deux matrices ; propriétés de la transposition (énoncé de toutes et preuve du résultat sur la transposée d’un produit).
Matrices
• Définition d’une matrice de formatn×pà coeffi- cients dansK, où (n,p)∈N∗×N∗etKdésigneR ouC, définition deMn,p(K).
• L’addition+dansMn,p(K) : définition et proprié- tés.
• La multiplication par un scalaire . surMn,p(K) : définition et propriétés.
• Définition de la notion de combinaison linéaire dans Mn,p(K), définition de Vect(A1,... ,Ar) où
A1,... ,ArdeMn,p(K).
• Définition du produit matriciel : définition et pro- priétés.
• Produit d’une matrice par un vecteur colonne.
• Vecteurs lignes et vecteurs colonnes d’un produit matriciel.
• Écriture matricielle d’un système linéaire.
• Définition d’une matrice carrée à coefficients dans K, définition deMn(K),Mn(K) est muni de trois opérations :+, . et×, qui en font uneK-algèbre.
• Matrice identitéIndeMn(K) : définition et carac- tère neutre deInpour la multiplication×.
• Puissances d’une matrice carrée.
• Formule du binôme de Newton pour deux ma- trices qui commutent.
• Matrices diagonales : définition, définition de Dn(K), propriétés de stabilité pour les lois+, .,×.
• Multiplication de deux matrices diagonales.
• Matrices triangulaires (supérieures) : définition, définition deTn(K), propriétés de stabilité pour les lois+, .,×.
• Matrices de permutation : définition, effet de la multiplication d’une matrice par une matrice de permutation à gauche.
• Matrices de dilatation : définition, effet de la mul- tiplication d’une matrice par une matrice de dila- tation à gauche.
• Matrices de transvection : définition, effet de la multiplication d’une matrice par une matrice de transvection à gauche.
• Traduction matricielle de la relation d’équivalence
∼Lentre matrices de même format.
• Traduction matricielle du théorème de Gauß- Jordan.
• Définition d’une matrice inversible et de l’inverse d’une telle.
• Définition deGLn(K).
• Stabilité deGLn(K) par passage à l’inverse et in- verse de l’inverse d’une matrice inversible.
• Stabilité deGLn(K) par multiplication et inverse d’un produit de deux matrices inversibles.
• Inversibilité et inverse d’une matrice de permuta- tion (resp. de dilatation, de transvection).
• Affaiblissement de la condition d’inversibilité : l’inversibilité à droite (resp. à gauche) implique l’inversibilité.
• Théorème fondamental sur l’inversibilité (critères via le rang, via∼
LIn, via des systèmes linéaires).
• Les matrices élémentairesn×nà coefficients dans KengendrentGLn(K).
• De l’inversibilité des matrices diagonales.
• De l’inversibilité des matrices triangulaires.
• Calcul de l’inverse d’une matrice inversible par la résolution d’un système linéaire.
• Calcul de l’inverse d’une matrice inversible par la méthode du pivot de Gauß, en utilisant une ma- trice « fantôme » sur laquelle s’impriment les opé- rations élémentaires sur les lignes.
• Définition de la transposée d’une matrice.
• Propriétés de la transposée : caractère involutif ; li- néarité ; transposition et produit ; transposition et rang ; transposition, inversibilité et inverse éven- tuelle.
