Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°11
Questions de cours
Question n°1
Définition d’une partie majorée deR; critère pour qu’une partie deRsoit bornée (énoncé) ; définition du minimum d’une partie deR; unicité du maximum d’une partie de Rqui en possède un (preuve) ; détermination de la borne supérieure deA:=©n−1
n+1 :n∈Nª .
Question n°2
Définition de la borne supérieure d’une partie deR; ca- ractérisation formelle de la borne supérieure d’une partie de R (énoncé et explication) ; borne supérieure versus maximum (énoncé et preuve) ; si x est un réel tel que pour toutε∈R>0,|x| ≤ε, alorsx=0 (preuve).
Question n°3
Propriété du bon ordre dansN(énoncé) ; définition de la partie entière d’un réelx(énoncé, preuve de l’existence dans le casx≥0, preuve de l’unicité) ; étude de la limite desin(2xx )quandxtend vers 0.
Question n°4
Propriétés de la partie entière (énoncé de toutes, preuve des deux dernières : croissance et effet de la transforma- tionx7→x+1) ; résultats sur la dérivabilité et la dérivée de la fonctionx7→x6(énoncé et preuve).
Question n°5
Définition de la courbe représentative d’une fonction ; courbe représentative de la fonction réciproque d’une fonction bijective (énoncé, preuve, exemple mettant en jeu la fonction racine carrée) ; étude de la périodicité de la fonctionx 7→sin(x)−cos(3x).
Question n°6
Définition d’une fonction strictement croissante (resp.
strictement décroissante) ; une propriété remarquable d’une application strictement monotone (énoncé et preuve) ; étude complète de la fonctionf:x7→p11
−x2.
L’ensemble R des réels
• Propriété de la relation d’ordre≤surR(réflexivité, antisymétrie, transitivité).
• Compatibilité de la relation d’ordre≤surRavec les opérations+et×.
• « Règles des signes » (rappel).
• Sens de variation de quelques fonctions usuelles.
• Addition membre à membre de deux inégalités.
• Multiplication membre à membre de deux inéga- lités ne mettant en jeu que des nombres positifs.
• Deux définitions de la valeur absolue d’un nombre réel (par morceaux et à l’aide d’un max).
• Valeur absolue et distance entre deux points de la droite réelle.
• Propriétés de la valeur absolue.
• Écriture de|x| ≤rà l’aide d’une double inégalité, sans valeur absolue (x∈R,r∈R≥0).
• Propriété d’Archimède.
• Définition d’une partie majorée (resp. minorée, bornée) deR.
• Critère pour qu’une partie de Rsoit bornée (cf.
« majorée en valeur absolue »).
• Définition du maximum (resp. minimum) d’une partie deR.
• Unicité du maximum (resp. minimum) d’une par- tie deRqui en possède un.
• Définition de la borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie deR.
• Propriété de la borne supérieure et propriété de la borne inférieure.
• Caractérisation formelle de la borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie deR.
• Borne supérieure versus maximum et borne infé- rieure versus minimum.
• Propriété du bon ordre dansN.
• Définition de la partie entière d’un nombre réel.
• Fonction partie entière : définition et propriétés.
• Définition d’un intervalle deR.
• Théorème de classification des intervalles deR.
Fonctions réelles de la variable réelle
• Définitions d’une fonction, de son ensemble de définition, de l’application associée.
• Définition de la courbe représentative d’une fonc- tion.
• Parité (resp. périodicité) d’une fonction : défini- tion, réduction de l’ensemble d’étude, propriété de la courbe représentative.
• Courbe représentative de la fonction réciproque d’une fonction bijective.
• Opérations sur les fonctions.
• Définition d’une fonction croissante (resp. dé- croissante, monotone, stricement croissante, strictement décroissante, strictement monotone).
• Définition d’une fonction majorée (resp. minorée, bornée).
• Critère pour qu’une fonction soit bornée (cf. « ma- jorée en valeur absolue »).
• Rappels sur la notion de limite pour les fonctions :
« définition » intuitive, opérations sur les limites, forme indéterminée, composée de limites.
• Définition d’une fonction continue en un point (resp. sur un intervalle).
• Résultats sur la continuité des fonctions usuelles.
• Opérations sur les fonctions continues.
• Dérivabilité d’une fonction en un point et nombre dérivé.
• Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle et fonction dérivée.
• Domaine de dérivabilité d’une fonction.
• Dérivabilité versus continuité.
• Dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles.
• Opérations sur les fonctions dérivables.
