Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°15
Questions de cours
Question n°1
Formule intégrale pour une primitive (énoncé et preuve) ; calcul de l’unique primitive de la fonction ln qui s’annule en 1, puis calcul de l’unique primitive de la fonction ln qui a pour limite 0 en 0+.
Question n°2
Formule d’intégration par parties (énoncé et preuve) ; cal- cul de
Z1 0
1
x2+x+1d x.
Question n°3
Formule d’intégration par changement de variable (énoncé et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonction
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ e−xsin(3x) par passage au champ complexe.
Question n°4
Définition d’une fonction de classeC1sur un intervalle ; calcul de
Z4 1
eptd t
au moyen du changement de variablex=p t.
Calcul de primitives
• Définition de la notion de primitive.
• Une condition suffisante (continuité sur l’inter- valle de définition) pour qu’une fonction admette une primitive.
• Critère pour qu’une fonction dérivable sur un in- tervalle soit constante.
• Défaut d’unicité d’une primitive.
• Primitives et linéarité.
• Primitives usuelles.
• Primitives et composition : formule mère (primi- tive deu′×(v′◦u)) et formules déduites (primitive dex7→u(ax+b) où (a,b)∈R∗×R, primitive de u′×uαoùα∈R\ {−1}, primitive de uu′, primitive deu′×(exp◦u)).
• Définition de la notion d’intégrale (pour une fonc- tion continue sur un segment).
• La valeur de l’intégrale ne dépend pas du choix d’une primitive.
• Interprétation géométrique de l’intégrale d’une fonction continue et positive ou nulle sur un seg- ment.
• Linéarité de l’intégrale.
• Fonctions de classeC1sur un intervalle : défini- tion, du caractèreC1des fonctions usuelles, opé- rations sur les fonctions de classeC1.
• Formule intégrale pour une primitive.
• Formule d’intégration par parties : énoncé, preuve, applications.
• Formule d’intégration par changement de va- riable : énoncé, preuve, applications.
