Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚17
Questions de cours
Question n˚ 1
Formule d’int´egration par parties (´enonc´e et preuve) ; justification de l’existence de l’int´egrale
Z 1 0
x2 ln(1 +x2)dx
puis calcul `a l’aide d’une int´egration par parties.
Question n˚ 2
Formule de changement de variable (´enonc´e et preuve) ; justification de l’existence de l’int´egrale
Z 4 1
e√tdt
puis calcul `a l’aide du changement de variablex=√ t.
Question n˚ 3
Pr´esentation d’une m´ethode pour primitiver
x7→ 1
ax2+bx+c
o`u (a, b, c)∈R∗×R×R; calcul d’une primitive de la fonction
x7→ 2x x2+x−12
sur tout intervalle r´eelI sur laquelle elle est d´efinie.
Question n˚ 4
Pr´esentation d’une m´ethode pour primitiver x7→eαx cos(βx) et eαx sin(βx) o`u (α, β)∈ R2\ {(0,0)}; calcul d’une primitive de la fonction
x7→sin(x) cos(x)e−x surR.
Chap. 5 − Calcul de primitives
• D´efinition de la notion de primitive.
• Une condition suffisante pour l’existence d’une primitive.
• Un crit`ere pour qu’une fonction soit constante sur un intervalle.
• R´esultat sur le d´efaut d’unicit´e d’une primitive sur un intervalle.
• Primitive et lin´earit´e.
• Primitives usuelles.
• Primitive et composition : une primitive d’une fonction du typeu′×f′(u).
• Une primitive d’une fonction de la forme x7→
u(ax+b), o`u (a, b)∈R∗×R.
• Une primitive d’une fonction de la forme x7→
u′(x)×u(x)α, o`uα6=−1.
• Une primitive d’une fonction de la forme x7→
u′(x) u(x).
• Une primitive d’une fonction de la forme x7→
u′(x)×eu(x).
• D´efinition de l’int´egrale d’une fonctionf conti- nue sur un intervalle Ientrea∈I et b∈I, via une primitive def surI.
• Interpr´etation g´eom´etrique de l’int´egrale d’une fonction continue et positive sur un segment.
• Lin´earit´e de l’int´egrale.
• D´efinition d’une fonction de classeC1sur un in- tervalle.
• Les fonctions usuelles sont de classeC1sur leurs ensembles de d´erivabilit´e respectifs.
• R´esultats sur les op´erations sur les fonctions de classeC1sur un intervalle.
• Formule int´egrale pour une primitive.
• Formule d’int´egration par parties.
• Formule de changement de variable.
• Une m´ethode pour primitiverx7→ ax2+1bx+c o`u (a, b, c)∈R∗×R×R.
• Une m´ethode pour primitiverx7→eαx cos(βx) etx7→eαx sin(βx) o`u (α, β)∈R2\ {(0,0)}par passage au champ complexe.
