Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°2
Questions de cours
Question n°1
Définition d’un nombre complexe inversible et de l’in- verse d’un tel (preuve de l’unicité de l’inverse d’un nombre complexe inversible) ; inversibilité et inverse d’un nombre complexe non nul (énoncé et preuve) ; cal- cul de l’inverse dez:= −2+5i.
Question n°2
Définition et interprétation géométrique du conjugué d’un nombre complexe ; propriétés de la conjugaison complexe (énoncé, preuve des propriétés liées à la mul- tiplication, à l’inverse, au quotient) ; calculer la forme algébrique dez:=31−2i+7i.
Question n°3
Pour toutz∈C, Re(z)≤ |z|(preuve) ; inégalité triangulaire (énoncé et preuve de l’inégalité de droite) ; cas d’égalité dans l’inégalité de droite (énoncé) ; siMest un point du plan situé sur le cercle de centreΩ(−3+3i) et de rayon 2, alors 3p
2−2≤OM≤3p
2+2 (preuve).
Question n°4
Relation fonctionnelle pour les nombreseiθ, où θ∈ R (énoncé) ; formules d’addition pour cos et sin (énoncé et preuve) ; transformation d’un produit en somme pour cos (énoncé et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonc- tionf :R→R;x7→cos2(x)cos(5x).
Question n°5
Formules d’Euler (énoncé et preuve) ; angle moitié : fac- torisation deei a±eib où a et b sont réels (énoncé et preuve) ; calcul de Re¡ 1
1−z
¢pourz∈U\ {1}.
Nombres complexes et trigonométrie
• Existence et unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe.
• Définitions de la partie réelle et de la partie imagi- naire d’un nombre complexe.
• Définition d’un nombre complexe imaginaire pur.
• Caractérisation des nombres réels (resp. imagi- naires purs) parmi les nombres complexes via la partie imaginaire (resp. la partie réelle).
• Point du plan associé à un nombre complexe, af- fixe d’un point du plan, identification deCavec le plan usuel.
• Définitions et propriétés de l’addition et de la mul- tiplication dansC.
• Définition d’un nombre complexe inversible et de l’inverse d’un tel/
• Un nombre complexe non nul est inversible et ex- pression de la forme algébrique d’un tel.
• Cest intègre.
• Définition et interprétation géométrique du conjugué d’un nombre complexe.
• Caractérisation des nombres réels (resp. des nombres imaginaires purs) parmi les nombres complexes via la conjugaison.
• Propriétés de la conjugaison complexe.
• Affixe d’un vecteur, affixe d’un bipoint, vecteur as- socié à un nombre complexe.
• Définition et interprétation géométrique du mo- dule d’un nombre complexe.
• Équation complexe d’un cercle (resp. d’un disque fermé).
• Lien entre module et conjugué.
• Multiplicativité du module, module de l’inverse d’un inversible, module d’un quotient.
• Inégalité(s) triangulaire(s) et cas d’égalité.
• Définition géométrique du revêtementρdu cercle unitéC par la droite réelleR.
• Propriétés de l’application ρ (e.g. condition né- cessaire et suffisante pour que deux réels aient la même image parρ).
• Définitions du cosinus et du sinus d’un nombre réel.
• Relation de Pythagore liant cosinus et sinus.
• Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
• Définitions des fonctions cosinus et sinus, pro- priétés de parité, 2π-périodicité.
• Effet de quelques transformations affines sur cos et sin.
• Cas d’égalité de deux cosinus (resp. de deux sinus).
• Équations et inéquations trigonométriques.
• Définition de l’ensemble U des nombres com- plexes de module 1 et image deUdans la plan.
• Propriétés de l’ensembleU(e.g. stabilité par mul- tiplication).
• Tout z ∈Us’écrit d’une unique manière sous la formeeiθ:=cos(θ)+isin(θ) oùθ∈]−π,π].
• Cas d’égalité de deux nombres de la formeeiθ, où θ∈R.
• Propriétés des nombres eiθ, oùθ ∈R: module, conjugué, inversibilité et inverse, relation fonc- tionnelle (admise).
• Formules d’Euler.
• Formules d’addition (resp. de duplication) pour cos et sin.
• Transformation d’un produit en somme pour cos et sin et application au calcul de primitives.
• Angle moitié : factorisation deei a±eib, oùaetb sont réels.
• Transformation d’une somme en produit pour co- sinus et sinus.
• Définition de la fonction tangente et notationDtan pour son ensemble de définition.
• Visualisation de tan(x) grâce au cercle trigonomé- trique, pourx∈Dtan.
• Valeurs remarquables de tangente.
• La fonction tangente est impaire etπ-périodique.
• Formules d’addition pour tangente.
