SRC2 TD3, TD4 matrices
TD3 et TD4 : Applications linéaires. Transformations du plan et de l’espace.
Vous connaissez les fonctions. Les fonctions définies deRdansRsont des ”machines” à transformer un réel en un autre réel. On peut cependant rentrerplusieurs réelsdans la machine et/ou récupérer tout un vecteur de réels en sortie.
On parle alorsd’applicationsdeRn dansRmsi en entrée on a nréels et en sortie on récupèremréels. Rn désigne un vecteur denréels (par exemple,(−1, π,2.1)∈R3). Exemples :
• Soit une machine qui prend les dimensions d’un parallépipède rectangle et qui en sortie calcule son volume. C’est uneapplicationdeR3 dansR.
• Soit une machine qui prend les dimensions d’un parallépipède rectangle et qui en sortie renvoie deux réels : son volume et sa surface. C’est uneapplicationdeR3 dansR2.
• Soit une application qui prend en entrée un réelxet qui en sortie renvoie un vecteur contenant la racine dex, le carré dex, et le cube dex. C’est une application deRdansR3.
– Soitf une application deRndansRm. On dit quef estune application linéairesi pour toutx∈Rn, y∈Rn et pour tous réelsaetb, f(ax+by) =af(x) +bf(y). Ex :f : (x, y)7→(x+y, x−y)est une application linéaire deR2 dansR2 (démonstration en cours).
– Une application linéaire deRn dansRm peut-être entièrement caractérisée par une matrice deMn,m(R).
– Composer des applications revient donc simplement à multiplier des matrices !
Exercice 1 : applications, applications linéaires
1. Soitf : (x, y)7→(2x+ 3y,3x−5y).
(a) Complétez :f est une application deR...dans. . . . (b) Montrez quef est une application linéaire.
(c) Soit la matriceA=
2 3 3 −5
. CalculezAX oùX =
x y
.
Comment peut-on calculer l’image d’un couple de nombre(x0, y0)en se servant de la matrice A ? La matrice A représente (dans une certaine base) et caractérise l’application linéairef.
(d) Est-ce queg: (x, y)7→(xy, x+y)est une application linéaire ? 2. Soitf :R37→R3définie par :∀(x, y, z)∈R3, f(x, y, z) = (x0, y0, z0)où :
(S)
2x −y +z = x0
x −y −z = y0
x +2z = z0
Montrez quef est une application linéaire. Quelle est la matrice qui caractérise cette application linéaire ?
Exercice 2 : rotation d’un point du plan
On rappelle les formules trigonométriques : cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) sin(a+b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b)
Soit un repère orthonormal(O,~i,~j)du plan. Un point M de ce plan peut être repéré de plusieurs façons :
• Par ses coordonnéescartésiennes(x, y)(xest l’abscisse,y l’ordonnée de M).
• Par l’angle θ= (~i, ~OM), indiquant la direction de M, et la distance à l’originer ((r, θ)où r >0 et θ ∈[0; 2π[
sont les coordonnées polaires de M).
1. Exprimez les coordonnées cartésiennes de M en fonction de ses coordonnées polaires (vous connaissez r et θ, trouvezxety. Faites un dessin).
2. On applique maintenant une rotation d’angleαet de centre O dans le sens trigonométrique à M : le point M est transformé en un nouveau point M’. Exprimez les coordonnées polaires, puis les coordonnées cartésiennes de M’, en fonction des coordonnées polaires de M.
3. Exprimez les coordonnées cartésiennes(x0, y0)deM0 en fonction des coordonnées cartésiennes(x, y)deM.
SRC2 TD3, TD4 matrices 4. L’application qui transforme (x, y) en (x0, y0) est-elle linéaire ? Si oui, quelle est la matrice Rα qui caractérise
cette application ?
5. Calculez le déterminant de cette matriceRα.
6. Pour ceux qui veulent approfondir un peu :siA= (aij)i=1···n,j=1···mest une matrice, alors sa matrice trans- posée, notéetA, est la matriceB= (aji)j=1···m,i=1···n (échange lignes-colonnes). Quelle est la matrice transposée de Rα? Calculez tRα ×Rα. Les matrices qui vérifient cette propriétés sont appeléesmatrices orthogonales.
Elles représentent les applications linéaires qui sont desisométries, c’est-à-dire qui conservent les longueurs (un segment[AB]qui a subi une rotation ne voit pas sa longueur changer...).
bilan : une rotation d’angleαdans le plan est caractérisée par la matrice Rα=
cosα −sinα sinα cosα
Il suffit de multiplier à gauche les coordonnées x
y
d’un point M par la matrice R pour obtenir les coordonnées du point M’ obtenu par rotation d’angleαet de centre O du point M.
7. Si l’on fait subir àM(x, y)une rotation d’angleθpuis une rotation d’angleθ0, on obtient le point de coordonnées RθRθ0
x y
. Vérifiez que cela revient à faire subir à M une rotation d’angle θ+θ0 : vérifiez donc queRθ+θ0= RθRθ0.
8. Trouvez la matrice qui caractérise une rotation dans l’espaced’un pointM(x, y, z)autour de l’axe(Oz).
9. Trouvez la matrice qui caractérise une rotation dans l’espaced’un pointM(x, y, z)autour de l’axe(Ox).
10. Application : trouvez l’image du point de coordonnées cartésiennes(1,2,3)par la rotation d’angle π2 autour de l’axe(Oz).
Exercice 3 : les symétries
Soit un repère orthonormal(O,~i,~j)du plan et M(x,y) un point du plan.
1. Quelles sont les coordonnées du pointM0(x0, y0)symétrique de M par rapport à (Ox)? (Vous pouvez faire un dessin...). Quelle matriceSx caractérise la symétrie par rapport à(Ox)? Calculez son déterminant.
2. Quelles sont les coordonnées du point M00(x00, y00)symétrique de M0(x0, y0)par rapport à Oy? Quelle matrice Sy caractérise la symétrie par rapport à (Oy)?
3. On prend le symétrique M’ de M par rapport à (Ox)puis le symétrique M” de M’ par rapport à (Oy). Quelle transformation (qui transforme M en M”) cela revient-il à faire ? Vérifiez-le en calculant Sx×Sy. Obtient-on la même chose en prenant d’abord le symétrique par rapport à (Oy) puis par rapport à(Ox)? Vérifiez-le en calculantSy×Sx.
4. On souhaite maintenant faire une rotation de π4 suivie d’une symétrie par rapport à (Oy). Quelle matrice caractérise cette transformation ? Pour ceux qui ont fait la question facultative plus haut :Est-ce une isométrie ?
5. Soit la droite D : y = ax, a 6= 0. Un vecteur directeur de cette droite est ~u = (1, a) (essayez de retrouver pourquoi). Trouvez, en fonction dexety, les coordonnées deM0(x0, y0)symétrique deM(x, y)par rapport à D.
Montrez que l’application qui transforme un point(x, y)en son symétrique par rapport à D est linéaire. Quelle est la matrice caractérisant cette application ? Calculez son déterminant.
Exercice 4 : les translations
Soit un repère orthonormal(O,~i,~j)du plan et M(x,y) un point du plan. Soit~u(ux, uy)un vecteur.
1. Quelles sont les coordonnéesx0 ety0, en fonction dexety, du pointM0 obtenu par la translation de vecteur~u de M ? Cette transformation est-elle une application linéaire ?
2. Nous pouvons toutefois représenter la translation au moyen d’une matrice, en rajoutant une dimension : montrez ainsi que la matrice
T~u=
1 0 ux 0 1 uy
0 0 1
transforme
x y 1
en
x0 y0 1
.
Quel est le déterminant de la matriceT~u?
