• Aucun résultat trouvé

SoientI le point de coordonnées(1,1)etr=r(I, π/4) la rotation de centreI et d’angleπ/4

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "SoientI le point de coordonnées(1,1)etr=r(I, π/4) la rotation de centreI et d’angleπ/4"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Université Pierre et Marie CurieParis VI Travaux dirigés no2 Géométrie affine dans Rn L2 Mathématiques 2017-2018

2M270 "Algèbre linéaire 2 ; Espaces affines"

Exercice 1 Dans le planR2, on considère les points

a= (4,5), b= (5,2), c= (1,3), d= (2,4).

Vérifier que(a,−→

ab,−→ac)forme un repère du plan. Calculer les coordonnées deddans ce repère.

Exercice 2 SoitR2 le plan affine muni du repère canoniqueR0 = (O, e1, e2), oùO désigne le point(0,0). SoientI le point de coordonnées(1,1)etr=r(I, π/4) la rotation de centreI et d’angleπ/4.

1. Soitz= (x, y)un point deR2, exprimer ses coordonnées(X, Y)dans le repèreR= (I, e1, e2)en fonction de x ety.

2. Exprimer les coordonnées(X, Y)dez=r(z)en fonction deX et Y, puis dexety.

3. En déduire les coordonnées(x, y)dez dansR0.

4. Justifier querest une application affine et préciser sa partie linéaire.

Exercice 3 Montrer qu’une application affine est injective (resp. surjective, bijective) si et seulement si sa partie linéaire est injective (resp surjective, bijective).

Exercice 4

1. Soit(O, e1, . . . , en)un repère de Rn. On note a0=O,a1 =O+e1, . . . , an =O+en. Montrer que pour tous pointsb0,b1, . . . , bn, il existe une unique application linéaireRn Rnqui envoie les vecteurs−−→a0a1, . . . ,−−→a0ansur les vecteurs−−→

b0b1, . . . ,−−→

b0bn. En déduire qu’il existe une unique application affine qui envoie les pointsa0, . . . an

sur les pointsb0, . . . , bn.

2. SoientA, B, C trois points non alignés du plan affine R2. Montrer qu’il existe une application affine deR2 qui envoie le triangleABC sur un triangle équilatéral.

3. Soient A, B, C, D quatre points quelconques du plan affine R2. A quelle condition existe-t-il une application affine deR2 qui envoie le quadrilatèreABCDsur un carré ?

Exercice 5 SoientA, B, C trois points non alignés du plan. On note

A le barycentre de(B,14)et(C,34),

B le barycentre de(A,25)et(C,35),

Il’intersection des droites (AA)et(BB),

C l’intersection des droites(CI)et(AB).

Faire un dessin. Trouver deux réelsα,β tels queC soit le barycentre de(A, α)et(B, β).

Exercice 6 La droite d’Euler. Dans un triangleABC quelconque, l’orthocentreH, le centre du cercle circonscritΩ et le centre de gravitéGsont alignés. Surprenant, non ?

Pour le démontrer, considérer le pointM = 3G2Ω, montrer que−−→

AM = 2−→

ΩI oùI est le milieu du segment[B, C], en déduire queM appartient à la hauteur issue deAet enfin conclure !

Exercice 7 SoientA,B,C,D quatre points deux à deux distincts de l’espace affineR3. On note :

Dla droite passant par le milieu des segments[A, B]et[C, D],

E la droite passant par le milieu des segments[A, C]et[B, D],

F la droite passant par le milieu des segments[A, D]et[B, C].

Montrer que les trois droites D, E et F sont concourantes et que leur point d’intersection est l’iso-barycentre de A, B, C, D. Faire un rapide dessin représentant cette situation.

Exercice 8 On noteS l’ensemble des solutions dansR4 du système : {

x+y−t= 1 y−z= 2 .

Rappeler pourquoi queS est un sous-espace affine deR4. Trouver un repère deS.

1

(2)

Exercice 9

1. A quelle condition, deux équations

a1x1+· · ·+anxn=b et a1x1+· · ·+anxn =b décrivent-elles deux hyperplans affines parallèles ?

2. A quelle condition deux systèmes d’équations {

a1x+b1y+c1z= 0

a2x+b2y+c2z= 0 et {

a1x+b1y+c1z= 0 a2x+b2y+c2z= 0 décrivent-ils des droites vectorielles deR3? la même droite vectorielle deR3? 3. A quelle condition deux systèmes d’équations

{

a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2

et {

a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2

décrivent-ils des droites affines deR3? des droites affines parallèles deR3? la même droite affine deR3? Exercice 10

1. DansR2, donner l’équation de la droite affineDpassant par le pointM0= (x0, y0)et de directionD=Ru, où u= (a, b)̸= 0.

2. DansR3, donner l’équation du plan affineP passant par le pointM0= (x0, y0, z0)et de directionP =Ru⊕Rv,u=

1 2 3

et v=

a b c

sont linéairement indépendants.

3. Dans R3, donner les équations de la droite affine D passant par le point M0 = (x0, y0, z0) et de direction D=Ru, oùuest le vecteur ci-dessus.

Exercice 11 SoitF une partie deRn vérifiant la propriété suivante :

Pour tousA, B∈ F, la droite passant par AetB est incluse dans F. Démontrer queF est un sous-espace affine deRn.

Exercice 12 Un exemple de projection/symétrie. SoitR2 le plan affine muni du repère canonique (O, e1, e2), oùO désigne le point(0,0). SoitD1 (resp.D2) la droite affine d’équation3y−x= 1(resp.x+ 2y= 4) et soitp(resp.s) la projection surD1 (resp. la symétrie par rapport àD1) parallèlement àD2.

1. Déterminer la directionD1deD1(resp.D2 deD2).

2. Montrer queD1∩ D2={I}pour un pointI que l’on déterminera.

3. Déterminer un vecteurv1(resp.v2) engendrant la droite vectorielleD1(resp.D2) puis, notantCla base(v1, v2), écrire la matrice de passageP = MatB0(C).

4. SoitRle repère(I,C)de l’espace affineR2. Pour tout pointM = (x, y)deR2, exprimer les coordonnées(X, Y) deM dansRen fonction dexet y.

5. Soient(X, Y)les coordonnées deM =p(M), et(X′′, Y′′)celles deM′′=s(M), dans le repèreR. Exprimer (X, Y)et(X′′, Y′′)en fonction deX et Y.

6. Dans le repèreR0= (O, e1, e2), déterminer les coordonnées(x, y)deM et(x′′, y′′)deM′′.

2

Références

Documents relatifs

Exemple : On dissout du sucre dans de l’eau, on obtient une solution d’eau sucrée.. Le rapport U/I est constant aux erreurs de mesure près donc U est proportionnelle

Le dipôle étudié est une résistance car U et I sont proportionnelles; R est le coefficient de proportionnalité

Dans toute la feuille, K désigne un corps commutatif..

b) Interpréter géométriquement les trois propriétés établies dans la question précédente.. Déterminer les points invariants

Une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie est bijective si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective.. Un endomorphisme

On veut montrer que la relation R, définie par ERF ≡ ∃f : E → F injective, est une relation d’ordre sur les ensembles considérés à isomorphisme près et que l’ordre opposé

Durée de l’épreuve : 2 heures Barème indicatif : 5+4+6+5.. Examen de Mathématiques,

[r]