Exercice 1 : Dans le plan vertical fixe

Université Mohammed V Année Universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences Rabat

Département de Physique

Corrigé du TD de Mécanique du Solide - Série n° 2 SMA – S4

Exercice 1 :

Dans le plan vertical fixe (𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ ) 0 du repère orthonormé direct 𝑅(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧0 ⃗⃗⃗ ) 0 où 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ ₀ est la verticale descendante, on considère le système (S) constitué de deux tiges identiques (OA) et (AB) articulées en A, rectilignes, homogènes, de longueur 2L chacune et de centres respectifs G1 et G2.

On introduit les repères orthonormés directs 𝑅1(𝑂; 𝑢⃗⃗⃗⃗ , 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧1 ⃗⃗⃗ ) lié à (OA) et 𝑅0 2(𝐴; 𝑢⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧2 ⃗⃗⃗ ) lié à (AB) tels que : 0

𝑂𝐺1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐿𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐺1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐿𝑢2 ⃗⃗⃗⃗ 2

Et on pose :

𝜃1= (𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑢0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑒𝑡 𝜃1 2= (𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐺2𝑥0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2𝑢2

- En faisant l’inventaire des liaisons de l’énoncé, justifier le paramétrage choisi.

Le paramétrage est la détermination des degrés de liberté indépendants qui permettent la description du mouvement du solide. Le solide (S) est l’union de deux tiges (OA) et (AB) donc les paramètres du système (S) est l’union des paramètres de (OA) et des paramètres de (AB).

 Pour la tige (OA) :

𝑅(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ )₀

𝑅₁(𝑂; 𝑢⃗⃗⃗⃗ , 𝑣₁ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₁ ⃗⃗⃗ )₀

Le référentiel 𝑅1(𝑂; 𝑢⃗⃗⃗⃗ , 𝑣₁ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₁ ⃗⃗⃗ ) se déduit du référentiel 𝑅(𝑂; 𝑥₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ) par une rotation d’angle 𝜃₀ 1 au tour de l’axe O𝑧 0.

On remarque que les deux référentiels ont la même origine, donc absence de la translation.

 Les paramètres de translation sont nuls à cause de l’absence de la translation ; Rotation par Ѳ1

autour de l’axe O

𝑧 ⃗⃗⃗

O 𝑦 ₀

𝑥 ₀

A

B Ѳ2

Ѳ1

𝑢

⃗ ₁ 𝑣 ₁

𝑣 ₂

𝑢⃗ ₂ G1

G2

𝑥 ₀

𝑦 ₀

 La tige (OA) est rectiligne, donc la rotation propre est nulle ;

 La tige peut faire une rotation d’angle 𝜃1 autour de O𝑧 0, c’est la précession.

On conclue que la tige (OA) est paramétrée par 𝜃1.

Le vecteur de rotation instantanée de la tige (OA) par rapport à R est : Ω⃗⃗ _{(𝑂𝐴)/𝑅}= 𝜃̇₁ 𝑧 ₀ On définit le torseur cinématique (torseur des vitesses) de la tige (OA) par rapport à R par :

𝜏𝑣⃗ (𝑂, (𝑂𝐴)/𝑅) = [Ω⃗⃗ _{(𝑂𝐴)/𝑅}= 𝜃̇1 𝑧 0 , 𝑉⃗ (𝑂/𝑅) = 0⃗ ]

Et ∀ 𝑃 ∈ (𝑂𝐴) , 𝑉⃗ (𝑃/𝑅) = 𝑉⃗ (𝑂/𝑅) + Ω⃗⃗ _{(𝑂𝐴)/𝑅}∧ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝑃/𝑅) = Ω⃗⃗ _{(𝑂𝐴)/𝑅}∧ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜃̇1 𝑧 0∧ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

 Pour la tige (AB) :

𝑅(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ )₀

𝑅₂(𝐴; 𝑢⃗⃗⃗⃗ , 𝑣₂ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₂ ⃗⃗⃗ ) ₀

𝑅′(𝐴; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ )₀

Le référentiel 𝑅₂(𝑂; 𝑢⃗⃗⃗⃗ , 𝑣₂ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₂ ⃗⃗⃗ ) se déduit du référentiel ₀ 𝑅(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ) par une translation par 𝑂𝐴₀ ⃗⃗⃗⃗⃗ , pour obtenir le référentiel 𝑅^′(𝐴; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ) puis une rotation d’angle 𝜃₀ 2 au tour de l’axe A𝑧 0.

 Les paramètres de translation

𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐿𝑢⃗⃗⃗⃗ = 2𝐿(cos 𝜃1 1 𝑥 0+ sin 𝜃1 𝑦 0) ^𝑑

′𝑜ù

→ {

𝑥_𝐴= 2𝐿 cos 𝜃₁ 𝑦_𝐴= 2𝐿 sin 𝜃₁ 𝑧_𝐴= 0

 Le mouvement de la tige (AB) est dans le plan (𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ ) , donc la nutation est nulle ; ₀

 La tige (AB) est rectiligne, donc la rotation propre est nulle ;

 La tige peut faire une rotation d’angle 𝜃₂ autour de A𝑧 ₀, c’est la précession.

On conclue que la tige (AB) est paramétrée par 𝜃2 , xA et yA. Comme xA et yA sont fonction de 𝜃1, on peut conclure que la tige (AB) est paramétrée par 𝜃2 et 𝜃1.

Le vecteur de rotation instantanée de la tige (AB) par rapport à R est : Ω⃗⃗ _{(𝐴𝐵)/𝑅}= 𝜃̇2 𝑧 0

Ainsi le mouvement de (S) peut être décrit complètement en fonction de 𝜃2 et 𝜃1. D’où le solide (S) est paramétré par 𝜃2 et 𝜃1.

- Calculer les vitesses 𝑉⃗ (𝐺1/𝑅) , 𝑉⃗ (𝐴/𝑅), 𝑉⃗ (𝐺2/𝑅) et 𝑉⃗ (𝐵/𝑅).

Le point G1 est un point qui appartient à la tige (OA) donc on peut utiliser la relation d’antisymétrie du torseur cinématique de la tige (OA). D’où :

𝑉⃗ (𝐺1/𝑅) = 𝜃̇₁ 𝑧 ₀∧ 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ₁= 𝜃̇₁ 𝑧 ₀∧ L𝑢⃗ ₁= 𝐿𝜃̇₁ 𝑧 ₀∧ 𝑢⃗ ₁= 𝐿𝜃̇₁ 𝑣 ₁ 𝑉⃗ (𝐺₁/𝑅) = 𝐿𝜃̇₁ 𝑣 ₁

Le point 𝐴 ∈ (𝑂𝐴) d’où 𝑉⃗ (𝐴/𝑅) = 𝜃̇1 𝑧 0∧ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜃̇1 𝑧 0∧ 2L𝑢⃗ 1= 2𝐿𝜃̇1 𝑧 0∧ 𝑢⃗ 1= 2𝐿𝜃̇1 𝑣 1

𝑉⃗ (𝐴/𝑅) = 2𝐿𝜃̇₁ 𝑣 ₁

Rotation par Ѳ2 autour de l’axe A𝑧⃗⃗⃗ 0

Translation par 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

On peut définir le torseur cinématique (torseur des vitesses) de la tige (AB) par rapport à R par : 𝜏𝑣⃗ (𝐴, (𝐴𝐵)/𝑅) = [Ω⃗⃗ _{(𝐴𝐵)/𝑅}= 𝜃̇2 𝑧 0 , 𝑉⃗ (𝐴/𝑅) = 2𝐿𝜃̇1 𝑣 1]

Et ∀ 𝑃 ∈ (𝐴𝐵) 𝑉⃗ (𝑃/𝑅) = 𝑉⃗ (𝐴/𝑅) + Ω⃗⃗ _{(𝐴𝐵)/𝑅}∧ 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝑃/𝑅) = 2𝐿𝜃̇1 𝑣 ₁+ 𝜃̇₂ 𝑧 ₀∧ 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

Le point 𝐺2 ∈ (𝐴𝐵) d’où 𝑉⃗ (𝐺2/𝑅) = 2𝐿𝜃̇₁ 𝑣 ₁+ 𝜃̇₂ 𝑧 ₀∧ 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ₂ 𝑉⃗ (𝐺2/𝑅) = 2𝐿𝜃̇1 𝑣 1+ 𝜃̇2 𝑧 0∧ 𝐿 𝑢⃗ 2

𝑉⃗ (𝐺2/𝑅) = 2𝐿𝜃̇₁ 𝑣 ₁+ 𝐿𝜃̇₂ 𝑣 ₂

Le point 𝐵 ∈ (𝐴𝐵) d’où 𝑉⃗ (𝐵/𝑅) = 2𝐿𝜃̇₁ 𝑣 ₁+ 𝜃̇₂ 𝑧 ₀∧ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝐵/𝑅) = 2𝐿𝜃̇₁ 𝑣 ₁+ 𝜃̇₂ 𝑧 ₀∧ 2𝐿 𝑢⃗ ₂ 𝑉⃗ (𝐵/𝑅) = 2𝐿𝜃̇₁ 𝑣 ₁+ 2𝐿𝜃̇₂ 𝑣 ₂

𝑉⃗ (𝐵/𝑅) = 2𝐿(𝜃̇1 𝑣 1+ 𝜃̇2 𝑣 2)

Exercice 2 :

Soit 𝑅₁(𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌₁ ⃗⃗⃗ , 𝑍₁ ⃗⃗⃗⃗ ) un repère orthonormé direct déduit d’un repère orthonormé direct fixe 𝑅_{0 0}(𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌₀ ⃗⃗⃗ , 𝑍₀ ⃗⃗⃗⃗ ) où 𝑂𝑌₀ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ₀ est la verticale ascendante, par une rotation Ω⃗⃗ (𝑅₁⁄𝑅₀) = 𝜃̇𝑍⃗⃗⃗⃗ ₀. On matérialise l’axe 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ₁ sur lequel un cercle (C) de centre A et de rayon a est astreint à se déplacer en restant dans le plan (𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑌0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) . Si I est le point de contact et P un point lié au 0

cercle. On pose :

𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑋⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝜑 = (𝐴𝑋₁ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝑃₁ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

On définit le repère orthonormé direct lié au cercle (C) par 𝑅(𝐴; 𝑋 , 𝑌⃗ , 𝑍⃗⃗⃗⃗ ) avec 𝐴𝑃0 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑋 où 𝑋 est le vecteur unitaire de la direction 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Les résultats vectoriels seront exprimés dans la base associée au repère 𝑅1 .

𝑌⃗ ₁ 𝑌⃗ ₁ 𝑌⃗ ₀

𝑋 ₁ 𝑋

𝑌⃗

A P

𝜃

𝜑

𝜑

𝑋 ₁ I

𝑋 ₀

O 𝜃

⨀ 𝑍 ₀

(C)

𝑅₀(𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌₀ ⃗⃗⃗ , 𝑍0 ⃗⃗⃗⃗ ) 0 𝑅(𝐴; 𝑋 , 𝑌⃗ , 𝑍⃗⃗⃗⃗ ) 0

𝑅₁(𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌₁ ⃗⃗⃗ , 𝑍₁ ⃗⃗⃗⃗ ) ₀ 𝑅′₁(𝐴; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌₁ ⃗⃗⃗ , 𝑍₁ ⃗⃗⃗⃗ ) ₀ Ω⃗⃗ _(𝑅

1/𝑅₀)= 𝜃̇ 𝑧⃗⃗⃗ , ₀ Ω⃗⃗ _(𝑅/𝑅

1)= 𝜑̇ 𝑧⃗⃗⃗ ₀ et Ω⃗⃗ _(𝑅/𝑅

0)= (𝜃̇ + 𝜑̇) 𝑧⃗⃗⃗ ₀ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑋 1+ 𝑎 𝑌⃗ ₁

- Déterminer la vitesse de glissement, 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅1), du cercle (C) sur l’axe 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1. La vitesse de glissement du cercle (C) sur l’axe 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 est 𝑉⃗ _𝑔(𝐼) qui s’exprime par : 𝑉⃗ _𝑔(𝐼) = 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅₁) − 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝑅_{1 1})

𝑂𝑋₁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ étant fixe dans le référentiel 𝑅1ainsi que tous ses points d’où 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝑅1 1) = 0⃗ on obtient : 𝑉⃗ _𝑔(𝐼) = 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅1)

En considérant le torseur cinématique du cercle (C) par rapport à R1 : 𝜏𝑣⃗ (𝐴, (𝐶)/𝑅₁) = [Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

1 , 𝑉⃗ (𝐴/𝑅1) ] Avec Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

1 = Ω⃗⃗ _𝑅/𝑅

1= 𝜑̇ 𝑧 0 et 𝑉⃗ (𝐴/𝑅1) = ^𝑑

𝑑𝑡(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑟̇ 𝑋 1

𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅1) = 𝑉⃗ (𝐴/𝑅1) + Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

1∧ 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅1) = 𝑟̇ 𝑋 1+ 𝜑̇ 𝑧⃗⃗⃗ ∧ (−𝑎)𝑌0 ⃗ ₁ 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅1) = (𝑟̇ + 𝑎𝜑̇)𝑋⃗⃗⃗⃗ ₁ - Evaluer 𝑉⃗ (𝐼/𝑅₁), 𝑉⃗ (𝐼/𝑅) et retrouver 𝑉⃗⃗⃗ (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅₁).

o 𝑉⃗ (𝐼/𝑅1) = ^𝑑

𝑑𝑡|

𝑅₁(𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ ) = ^𝑑

𝑑𝑡|

𝑅₁(𝑟𝑋 ₁) = 𝑟̇𝑋 ₁ o 𝑉⃗ (𝐼/𝑅) = ^𝑑

𝑑𝑡|

𝑅(𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ ) = ^𝑑

𝑑𝑡|

𝑅(−𝑎𝑌⃗ ₁) = ^𝑑

𝑑𝑡|

𝑅₁(−𝑎𝑌⃗ ₁) + Ω⃗⃗

(𝑅₁

⁄ )𝑅 ∧ (−𝑎𝑌⃗ ₁) = (−𝜑̇ 𝑧⃗⃗⃗ ) ∧ (−𝑎𝑌₀ ⃗ ₁) 𝑉⃗ (𝐼/𝑅) = − 𝑎 𝜑̇ 𝑋 1

En considérant R comme référentiel relatif et R1 comme référentiel absolu, on peut écrire : 𝑉⃗ (𝐼/𝑅1) = 𝑉⃗ _𝑎 vitesse absolu du point I.

𝑉⃗ (𝐼/𝑅) = 𝑉⃗ 𝑟 vitesse relative du point I.

Et on a 𝑉⃗ _𝑎= 𝑉⃗ _𝑟+ 𝑉⃗ _𝑒(𝐼 ∈ 𝑅/𝑅₁) , R étant lié au cercle (C) donc on peut écrire : 𝑉⃗ _𝑒(𝐼 ∈ 𝐶/𝑅₁) = 𝑉⃗ _𝑎− 𝑉⃗ _𝑟= (𝑟̇ + 𝑎 𝜑̇)𝑋 ₁

- Donner l’expression du vecteur accélération, 𝑎 (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅1) , de la particule de contact I.

Calcul de 𝑎 (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅₁), accélération du point de cercle (C) lorsqu’il occupe le point géométrique I (lieu de contact entre (C) et l’axe 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ ₁).

Pour cela on considère un point P du cercle (C) pour calculer son accélération et puis remplir les conditions lorsqu’il passe par I. ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐼𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑋 𝑂𝑃 ₁+ 𝑎 𝑌⃗ ₁+ 𝑎 𝑋 = |

𝑟 + 𝑎 cos 𝜑 𝑎(1 + sin 𝜑)

0

𝑅₁

𝜃 𝑧⃗⃗⃗ 0 𝜑 ⃗⃗⃗ 𝑧₀

Translation par 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

En utilisant la relation d’antisymétrie du torseur cinématique du cercle (C) par rapport à R1 ; on peut écrire : 𝑉⃗ (𝑃/𝑅1) = 𝑉⃗ (𝐴/𝑅1) + Ω⃗⃗ _𝑅/𝑅

1∧ 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝑃/𝑅₁) = 𝑟̇𝑋 ₁+ 𝜑̇ 𝑧 ₀∧ 𝑎 𝑋 = 𝑟̇𝑋 ₁+ a𝜑̇ 𝑌⃗ 𝑉⃗ (𝑃/𝑅1) = (𝑟̇ − 𝑎𝜑̇ sin 𝜑) 𝑋 1+ 𝑎𝜑̇ cos 𝜑 𝑌⃗ ₁= |

𝑟̇ − 𝑎𝜑̇ sin 𝜑 𝑎𝜑̇ cos 𝜑 0

𝑅₁

𝑎 (𝑃/𝑅1) = 𝑑 𝑑𝑡|

𝑅₁

(𝑉⃗ (𝑃/𝑅1)) = (𝑟̈ − 𝑎𝜑̈ sin 𝜑 − 𝑎𝜑̇²cos 𝜑) 𝑋 1+ (𝑎𝜑̈ cos 𝜑 − 𝑎𝜑̇²sin 𝜑)𝑌⃗ ₁

𝑎 (𝑃/𝑅₁) = |

𝑟̈ − 𝑎𝜑̈ sin 𝜑 − 𝑎𝜑̇²cos 𝜑 𝑎𝜑̈ cos 𝜑 − 𝑎𝜑̇²sin 𝜑 0

𝑅₁

Quand 𝑃 ≡ 𝐼 ⟹ 𝜑 =^3𝜋₂ ⟹ {𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0

𝑠𝑖𝑛𝜙 = −1 ainsi 𝑎 (𝐼 ∈ 𝐶/𝑅₁) = | 𝑟̈ + 𝑎𝜑̈

𝑎𝜑̇² 0

𝑅₁

On étudie le mouvement de P dans 𝑅0 considéré comme absolu. Si 𝑅1 est le repère relatif, donner les expressions : - Des vitesses relative, 𝑉⃗⃗⃗ (𝑃/𝑅1) , d’entrainement , 𝑉⃗⃗⃗ (𝑃 ∈ 𝑅1/𝑅₀),et absolue 𝑉⃗⃗⃗ (𝑃/𝑅0).

 La vitesse relative : 𝑉⃗⃗⃗ (𝑃/𝑅1)

𝑉⃗⃗⃗ (𝑃/𝑅₁) = |

𝑟̇ − 𝑎𝜑̇ sin 𝜑 𝑎𝜑̇ cos 𝜑 0

𝑅₁

 La vitesse d’entrainement : 𝑉⃗⃗⃗ (𝑃 ∈ 𝑅₁/𝑅₀)

𝑉⃗⃗⃗ (𝑃 ∈ 𝑅₁/𝑅₀) = 𝑉⃗⃗⃗ (O/𝑅₀) + Ω⃗⃗ _(𝑅

1/𝑅₀)∧ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗⃗⃗ (𝑃 ∈ 𝑅1/𝑅0) = 𝜃̇ 𝑧⃗⃗⃗ ∧ ( 𝑟𝑋 0 1+ 𝑎 𝑌⃗ ₁+ 𝑎 𝑋 )

𝑉⃗⃗⃗ (𝑃 ∈ 𝑅1/𝑅0) = |

−𝑎𝜃̇(1 + sin 𝜑) 𝑟𝜃̇ + 𝑎𝜃̇ cos 𝜑 0

𝑅₁

 La vitesse absolue : 𝑉⃗ (𝑃/𝑅0)

𝑉⃗ (𝑃/𝑅0) = 𝑉⃗ (𝑃/𝑅1) + 𝑉⃗⃗⃗ (𝑃 ∈ 𝑅1/𝑅0) = |

𝑟̇ − 𝑎𝜑̇ sin 𝜑 − 𝑎𝜃̇(1 + sin 𝜑) 𝑟𝜃̇ + 𝑎𝜃̇ cos 𝜑 + 𝑎𝜑̇ cos 𝜑

0

𝑅₁

= |

𝑟̇ − 𝑎𝜃̇ − 𝑎(𝜑̇ + 𝜃̇) sin 𝜑 𝑟𝜃̇ + 𝑎(𝜃̇ + 𝜑̇) cos 𝜑

0

𝑅₁

- Des accélérations relative, 𝑎⃗⃗⃗ (𝑃/𝑅₁), d’entrainement, 𝑎⃗⃗⃗ (𝑃 ∈ 𝑅₁/𝑅₀) , de Coriolis, 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑃), et absolue 𝑎_𝑐 ⃗⃗⃗ (𝑃/𝑅₀).

 Accélérations relative : 𝑎 (𝑃/𝑅1)

𝑎 (𝑃/𝑅₁) = 𝑑 𝑑𝑡|

𝑅₁

(𝑉⃗ (𝑃/𝑅₁)) = |

𝑟̈ − 𝑎𝜑̈ sin 𝜑 − 𝑎𝜑̇²cos 𝜑 𝑎𝜑̈ cos 𝜑 − 𝑎𝜑̇²sin 𝜑 0

𝑅₁

 Accélération d’entrainement : 𝑎 (𝑃 ∈ 𝑅1/𝑅0) 𝑎 (𝑃 ∈ 𝑅1/𝑅0) = Ω⃗⃗ _(𝑅

1/𝑅₀) ∧ (Ω⃗⃗ _(𝑅

1/𝑅₀)∧ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 𝑑 𝑑𝑡|

𝑅₀

(Ω⃗⃗ _(𝑅

1/𝑅₀)) ∧ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

𝑎 (𝑃 ∈ 𝑅₁/𝑅₀) = |

−𝑟𝜃̇²− 𝑎𝜃̇²cos 𝜑 − 𝑎𝜃̈(1 + sin 𝜑)

−𝑎𝜃̇²(1 + sin 𝜑) + 𝑟𝜃̈ + 𝑎𝜃̈ cos 𝜑 0

𝑅₁

 Accélération de Coriolis : 𝑎⃗⃗⃗⃗ (𝑃) 𝑐

𝑎 𝑐(𝑃) = 2 Ω⃗⃗ _(𝑅

1/𝑅₀)∧ 𝑑 𝑑𝑡|

𝑅₁

𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 | −𝑎𝜃̇𝜑̇ cos 𝜑 𝑟̇𝜃̇ − 𝑎𝜃̇𝜑̇ sin 𝜑

0

𝑅₁

 Accélération absolue : 𝑎 (𝑃/𝑅0)

𝑎 (𝑃/𝑅0) = 𝑎 (𝑃/𝑅1) + 𝑎 (𝑃 ∈ 𝑅1/𝑅0) + 𝑎 𝑐(𝑃)

𝑎 (𝑃/𝑅0) = |

𝑟̈ − 𝑎𝜃̈ − 𝑟𝜃̇² − 𝑎(𝜑̈ + 𝜃̈) sin 𝜑 − 𝑎(𝜑̇ + 𝜃̇)²cos 𝜑 2𝑟̇𝜃̇ − 𝑎𝜃̇²+ 𝑟𝜃̈ + 𝑎(𝜑̈ + 𝜃̈) cos 𝜑 − 𝑎(𝜑̇ + 𝜃̇)²sin 𝜑 0

𝑅₁

Exercice 3 :

On considère une sphère (S) homogène, de centre G, de rayon 𝒂 roulant sans glisser sur le plan horizontal fixe (𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ ) ₀ du repère orthonormé direct 𝑅(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ) . Soit I le point de contact et 𝑅₀ 𝑠(𝐺; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) le repère lié à (S) ; 𝑮𝑧⃗⃗⃗⃗⃗ étant l’axe autour duquel s’effectue la rotation propre de (S).

Schéma du paramétrage

𝑅(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ) ₀ 𝑅_𝑠(𝐺; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )

𝑅^′(𝐺; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ) ₀ 𝑅1(𝐺; 𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑧⃗⃗⃗ ) ₀ 𝑅₂(𝐺; 𝑢⃗ , 𝑤⃗⃗ , 𝑧 )

Ω⃗⃗ _(𝑅

𝑠/𝑅)= 𝜓̇ 𝑧⃗⃗⃗ + 𝜃̇ 𝑢₀ ⃗ + 𝜑̇ 𝑧 = |

𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝜑 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝜓̇ + 𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑅

𝑥0

⃗⃗⃗⃗ 𝑥

𝑦₀

⃗⃗⃗⃗

𝑧₀

⃗⃗⃗

𝑦 𝑧₀

𝑧 ⃗⃗⃗

𝑦0

⃗⃗⃗⃗

𝑢

⃗ 𝑣

O

I

𝑢⃗ 𝑧₀

⃗⃗⃗

O I 𝒂 G

Translation par 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝑥_𝐺 𝑦𝐺

𝑧𝐺

𝜓 𝜃

𝜓

autour de 𝑧⃗⃗⃗ 0 autour de 𝑢⃗

autour de 𝑧 𝜃

𝜑

- Paramétrer (S).

 Paramètres de translation :

I est le point de contact permanent, donc elle toujours contenue dans le plan de contact (𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ ) ₀ d’où 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ (𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ ) ⟹ 𝑂𝐼₀ ⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑧⃗⃗⃗ = 0 ₀

Condition du contact permanent CCP de la sphère (S) avec le plan 𝜋(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ ) de normale 𝑧0 ⃗⃗⃗ est 𝑂𝐼0 ⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑧⃗⃗⃗ = 0 0

Or 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗ = | 𝑥_𝐺 𝑦_𝐺 𝑧𝐺 𝑅

+ | 0 0

𝑅 −𝑎

= | 𝑥_𝐺 𝑦_𝐺 𝑧𝐺− 𝑎

𝑅

la CCP | 𝑥_𝐺 𝑦_𝐺 𝑧𝐺− 𝑎

⋅ | 0 0

𝑅1

𝑅

= 0 donne 𝑧𝐺− 𝑎 = 0 ⟹ 𝑧𝐺= 𝑎

Les paramètres de translation se réduisent à 𝑥_𝐺 et 𝑦_𝐺

 Paramètres de rotation :

- La sphère (S) est libre de tourner autour de l’axe 𝑧⃗⃗⃗ par l’angle 𝜓 donc la précession existe ; 0

- La sphère (S) est libre de tourner autour de l’axe 𝑢⃗ par l’angle 𝜃 donc la nutation existe ; - La sphère (S) est libre de tourner autour de l’axe 𝑧 par l’angle 𝜑 donc la rotation propre existe ;

Les Paramètres de rotation sont 𝜓, 𝜃 et 𝜑 On conclue que La sphère (S) est paramétrée par 𝑥𝐺, 𝑦𝐺, 𝜓, 𝜃 et 𝜑.

- Traduire le non glissement de (S) par rapport à (π).

La vitesse de glissement de la sphère (S) par rapport au plan 𝜋(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ ). est 𝑉0 ⃗ _𝑔(𝐼) qui s’exprime par : 𝑉⃗ _𝑔(𝐼) = 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝑆/𝑅) − 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝜋/𝑅)

𝜋 étant fixe dans le référentiel 𝑅 ainsi que tous ses points d’où 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝜋/𝑅) = 0⃗

on obtient : 𝑉⃗ _𝑔(𝐼) = 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝑆/𝑅)

En considérant le torseur cinématique du cercle (S) au point G dans son mouvement par rapport à R : 𝜏𝑣(𝐺, 𝑆/𝑅) = [Ω⃗⃗ _𝑆/𝑅 , 𝑉⃗ (𝐺/𝑅) ] et ∀ 𝑃 ∈ 𝑆 on a 𝑉⃗ (𝑃/𝑅) = 𝑉⃗ (𝐺/R) + Ω⃗⃗ _𝑆/𝑅∧ 𝐺𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

D’où 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝑆/𝑅) = 𝑉⃗ (𝐺/R) + Ω⃗⃗ _𝑆/𝑅∧ 𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝐼 ∈ S/R) = |𝑥̇_𝐺 𝑦̇_𝐺

𝑅 0

+ |

𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝜑 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝜓̇ + 𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑅

∧ | 0 0

−𝑎

𝑅

= |

𝑥̇𝐺− 𝑎(𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝜑 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓) 𝑦̇_𝐺+ 𝑎(𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓)

𝑅 0

Le non glissement de la sphère (S) par rapport au plan 𝜋(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ ) se traduit par 𝑉0 ⃗ _𝑔(𝐼) = 𝑉⃗ (𝐼 ∈ S/R) = 0⃗

Il en résulte la relation suivante : {𝑥̇_𝐺 = 𝑎(𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝜑 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓)

𝑦̇𝐺= −𝑎(𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓) condition du non glissement - Définir les rotations instantanées de roulement et de pivotement.

On sait que Ω⃗⃗ _𝑆/𝑅= Ω⃗⃗ _𝑟+ Ω⃗⃗ _𝑝 avec Ω⃗⃗ _𝑟 : la rotation instantanée du roulement

et Ω⃗⃗ _𝑝 : la rotation instantanée du pivotement ; telle que :

Ω⃗⃗ _𝑝= (Ω⃗⃗ _𝑆/𝑅∙ z ₀) z ₀= (𝜓̇ + 𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃) z ₀ et Ω⃗⃗ _𝑟= Ω⃗⃗ _𝑆/𝑅− Ω⃗⃗ _𝑝= |

𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝜑 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓

𝑅 0

= 𝜃̇ 𝑢⃗ + 𝜑̇ 𝑧

- Traduire le non roulement et le non pivotement de (S) par rapport à (π).

Le non pivotement est traduit par : Ω⃗⃗ _𝑝= 0⃗ ⟹ (𝜓̇ + 𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 0 ⟹ 𝜓̇ = − 𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃

Le non roulement est traduit par : Ω⃗⃗ _𝑟= 0⃗ ⟹ 𝜃̇ 𝑢⃗ + 𝜑̇ 𝑧 = 0⃗ comme 𝑢⃗ et 𝑧 sont libres entre eux, on peut écrire que : 𝜃̇ = 0 𝑒𝑡 𝜑̇ = 0 d’où 𝜃 = 𝐶𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝜑 = 𝐶𝑠𝑡𝑒

Exercice 4 :

Soit un cône homogène (C) de révolution 𝐺𝑧⃗⃗⃗⃗⃗ , de centre d’inertie G, de masse m, de hauteur l et de rayon de base 𝑎, articulé en son sommet O, origine d’un repère orthonormé direct fixe R₀(O; x⃗⃗⃗ , y₀ ⃗⃗⃗ , z₀ ⃗⃗⃗ ). ₀

On pose : OG⃗⃗⃗⃗⃗ = d z , où d est une constante

1. Paramétrer le cône (C).

Schéma du paramétrage

𝑅0(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ) ₀ 𝑅_𝑠(𝐺; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )

𝑅^′(𝐺; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ) ₀ 𝑅1(𝐺; 𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑧⃗⃗⃗ ) ₀ 𝑅₂(𝐺; 𝑢⃗ , 𝑤⃗⃗ , 𝑧 ) 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑 𝑧 = 𝑑 (cos 𝜃 𝑧 ₀− sin 𝜃 𝑣 )

𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑 cos 𝜃 𝑧 0− 𝑑 sin 𝜃 (− sin 𝜓 𝑥 0+ cos 𝜓 𝑦 0) ⟹ |

𝑥𝐺 = 𝑑 sin 𝜃 sin 𝜓 𝑦_𝐺= − 𝑑 sin 𝜃 cos 𝜓 𝑧𝐺= 𝑑 cos 𝜃

𝑅₀

L’articulation de (C) en O lui permet de faire les trois rotations possibles 𝜓, 𝜃 𝑒𝑡 𝜑. Comme les paramètres de translation sont fonctions de ceux de Rotation d’où le solide (C) est paramétré par 𝜓, 𝜃 𝑒𝑡 𝜑.

G 𝑧

𝑥₀

⃗⃗⃗⃗

𝑣

𝑦₀

⃗⃗⃗⃗

𝑧₀

⃗⃗⃗

𝑢⃗ O 𝜃

𝜓 𝜑

(C)

Translation par 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝑥_𝐺 𝑦𝐺

𝑧_𝐺 𝜓

autour de 𝑧⃗⃗⃗ ₀ autour de 𝑢⃗

autour de 𝑧 𝜃

𝜑

2. Déterminer le vecteur de rotation instantanée de (C) par rapport à R0. Le vecteur de la rotation instantanée de (C) par rapport à R0 est : Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

0 = Ω⃗⃗ _(𝑅

𝑠/𝑅₀)

Ω⃗⃗ _(𝑅

𝑠/𝑅₀)= 𝜓̇ 𝑧⃗⃗⃗ + 𝜃̇ 𝑢0 ⃗ + 𝜑̇ 𝑧 = |

𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝜑 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝜓̇ + 𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑅₀

O est un point fixe donc 𝑉⃗ (𝑂/𝑅0) = 0⃗ et le torseur des vitesses du cône (C), au point O, par rapport à R0

est définit par 𝜏𝑣⃗ (𝑂, (𝐶)/𝑅0) = [Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

0 , 𝑉⃗ (𝑂/𝑅0) = 0⃗ ]

et la relation d’antisymétrie s’écrit : et ∀ 𝑃 ∈ (𝐶) on a 𝑉⃗ (𝑃/𝑅0) = 𝑉⃗ (𝑂/R) + Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

0 ∧ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

donc 𝑉⃗ (𝑃/𝑅0) = Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

0 ∧ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

3. Déterminer la vitesse, V⃗⃗ (G/R0), du point G.

G est un point de (C) d’où 𝑉⃗ (𝐺/𝑅0) = Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

0 ∧ 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝐺/𝑅0) = |

𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝜑 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝜓̇ + 𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑅₀

∧ |

𝑑 sin 𝜃 sin 𝜓

− 𝑑 sin 𝜃 cos 𝜓 𝑑 cos 𝜃

𝑅₀

𝑉⃗ (𝐺/𝑅₀) = 𝑑 | −

𝜃̇ cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝜓̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝜃̇ cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝜓 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓

−𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑅₀

Par définition de la vitesse de par rapport à R0, on retrouve le même résultat : V⃗⃗ (G/R0) = 𝑑

𝑑𝑡|

𝑅₀

(𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ) = |

𝑥̇𝐺 = 𝑑 𝜃̇ cos 𝜃 sin 𝜓 + 𝑑 𝜓̇ sin 𝜃 cos 𝜓 𝑦̇_𝐺= − 𝑑 𝜃̇ cos 𝜃 cos 𝜓 + 𝑑 𝜓̇ sin 𝜃 sin 𝜓

𝑧̇_𝐺= − 𝑑 𝜃̇ sin 𝜃

𝑅₀

4. Déterminer l’accélération, a⃗ (G/R0), du point G.

𝑎 (G/R0) = 𝑑 𝑑𝑡|

𝑅₀

(V⃗⃗ (G/R0)) 𝑎 (G/R0) = |

𝑑 𝜃̈ cos 𝜃 sin 𝜓 − 𝑑 (𝜃̇²+ 𝜓̇²) sin 𝜃 sin 𝜓 + 2𝑑 𝜃̇ 𝜓̇ cos 𝜃 cos 𝜓 + 𝑑 𝜓̈ sin 𝜃 cos 𝜓

− 𝑑 𝜃̈ cos 𝜃 cos 𝜓 + 𝑑(𝜃̇²+ 𝜓̇²) sin 𝜃 cos 𝜓 + 2 𝑑 𝜃̇ 𝜓̇ cos 𝜃 sin 𝜓 + 𝑑 𝜓̈ sin 𝜃 sin 𝜓

− 𝑑 𝜃̈ sin 𝜃 − 𝑑 𝜃̇² 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑅₀

5. Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique au point O’ centre de la base du cône (C).

O’ est un point de (C) avec 𝑂𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ^′= l 𝑧 ⟹ 𝑉⃗ (𝑂′/𝑅₀) = Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

0 ∧ 𝑂𝑂′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝑂′/𝑅0) = |

𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝜑 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝜓̇ + 𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑅₀

∧ |

𝑙 sin 𝜃 sin 𝜓

− 𝑙 sin 𝜃 cos 𝜓 𝑙 cos 𝜃

𝑅₀

𝑉⃗ (𝐺/𝑅0) = 𝑙 | −

𝜃̇ cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝜓̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝜃̇ cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝜓 ̇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓

−𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑅₀

Donc 𝜏_𝑣⃗ (𝑂′, (𝐶)/𝑅₀) = [Ω⃗⃗ _(𝐶)/𝑅

0 , 𝑉⃗ (𝑂′/𝑅0) ]

Exercice 5 :

On considère le disque (D) homogène de centre d’inertie G, de masse m et de rayon a, astreint à se déplacer sur l’axe 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0 du plan (𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑌₀ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) d’un repère orthonormé fixe ₀ 𝑅(𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌₀ ⃗⃗⃗ , 𝑍₀ ⃗⃗⃗⃗ ) où l’axe ₀ 𝑂𝑌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ₀ est la verticale ascendante. Soit 𝑅𝑠(𝐺; 𝑋 , 𝑌⃗ , 𝑍⃗⃗⃗⃗ ) le repère orthonormé direct lié à ce disque. I est le point de contact entre le disque (D) et l’axe 𝑂𝑋0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0 . On appelle x, y et z les coordonnées de G et φ la rotation propre du disque (D) autour de l’axe 𝐺𝑍⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , On suppose que (D) roule 0

sans glisser sur l’axe 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0.

1 - Paramétrer le disque (D) Schéma du paramétrage :

𝑅(𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌0 ⃗⃗⃗ , 𝑍0 ⃗⃗⃗⃗ ) 0 𝑅𝑠(𝐺; 𝑋 , 𝑌⃗ , 𝑍⃗⃗⃗⃗ ) 0

𝑅′(𝐺; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌₀ ⃗⃗⃗ , 𝑍₀ ⃗⃗⃗⃗ ) ₀

 Paramètres de translation :

I est le point de contact permanent, donc elle toujours contenue dans le plan de contact (𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑍₀ ⃗⃗⃗⃗ ) de normale 0 𝑌⃗⃗⃗ ₀ d’où 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ (𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑍0 ⃗⃗⃗⃗ ) ⟹ 𝑂𝐼0 ⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑌⃗⃗⃗ = 0 0

Condition du contact permanent CCP du disque (D) avec le plan 𝜋(𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑍0 ⃗⃗⃗⃗ ) de normale 𝑌0 ⃗⃗⃗ 0 est 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑌⃗⃗⃗ = 0 0

Or 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗ = | 𝑥 𝑦

𝑅 𝑧 + |

0

−𝑎

𝑅 0

= | 𝑥 𝑦 − 𝑎

𝑅 𝑧

la CCP | 𝑥 𝑦 − 𝑎

𝑧

⋅ | 0 1

𝑅0

𝑅

= 0 donne 𝑦 − 𝑎 = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑎

Le disque (D) évolue dans le plan (𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌0 ⃗⃗⃗ ) d’équation 𝑧 = 0 ⟹ 𝑂𝐺0 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑧 = 0

𝑅

Les paramètres de translation se réduisent à 𝑥

 Paramètres de rotation :

- Le disque (D) évolue dans le plan (𝑂; 𝑋⃗⃗⃗⃗ , 𝑌0 ⃗⃗⃗ ) donc la nutation 𝜃 est nulle ; 0

- Le disque (D) est en contact permanent avec l’axe 𝑋⃗⃗⃗⃗ 0 donc la précession 𝜓 est nulle ;

- Le disque (D) est libre de tourner autour de l’axe 𝐺𝑍⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0 par l’angle 𝜑 donc la rotation propre existe ;

Les Paramètres de rotation se réduisent à 𝜑 𝜑

𝜑

⨀ 𝑍 ₀

O 𝑋 ₀

𝑋

𝑋 ₀ 𝑌⃗

𝑌⃗ ₀ 𝑌⃗ ₀

G

I (D)

Translation par 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑥 𝑦

𝑅 𝑧 Rotation 𝜑 autour de 𝑍 ₀

2 - Donner l’expression du vecteur de rotation instantanée de (D) par rapport à R.

Le vecteur de vitesse de rotation instantanée de (D) par rapport à R est Ω⃗⃗ (𝐷/𝑅) = 𝜑̇ 𝑍 ₀ le torseur des vitesses du cône (D), au point G, par rapport à R est définit par :

𝜏_𝑣⃗ (𝐺, (𝐷)/𝑅) = [Ω⃗⃗ (𝐷/𝑅) = 𝜑̇ 𝑍 0 , 𝑉⃗ (𝐺/𝑅) = 𝑥̇ 𝑋 0 ]

et la relation d’antisymétrie s’écrit : et ∀ 𝑃 ∈ (𝐷) on a 𝑉⃗ (𝑃/𝑅) = 𝑉⃗ (𝐺/R) + Ω⃗⃗ (𝐷/𝑅) ∧ 𝐺𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

3 - Montrer qu’il n’y a pas de pivotement de (D) par rapport à R.

La rotation du pivotement est Ω⃗⃗ _𝑝(𝐷/𝑅) = (Ω⃗⃗ (𝐷/𝑅) ∙ 𝑌⃗ 0 ) 𝑌⃗ ₀= (𝜑̇ 𝑍 ₀ ∙ 𝑌⃗ ₀ ) 𝑌⃗ ₀ = 0⃗ donc il n’y a pas de pivotement de (D) sur le plan 𝜋(𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑍0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ₀

4 - Traduire le non glissement de (D) par rapport à 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0 .

La vitesse de glissement du disque (D) par rapport au plan 𝜋(𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑍₀ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). est 𝑉₀ ⃗ _𝑔(𝐼) qui s’exprime par : 𝑉⃗ _𝑔(𝐼) = 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐷/𝑅) − 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝜋/𝑅)

𝜋 étant fixe dans le référentiel 𝑅 ainsi que tous ses points d’où 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝜋/𝑅) = 0⃗

on obtient : 𝑉⃗ _𝑔(𝐼) = 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐷/𝑅)

En considérant le torseur cinématique du disque (D) au point G dans son mouvement par rapport à R : 𝜏𝑣(𝐺, 𝐷/𝑅) = [Ω⃗⃗ _𝐷/𝑅 , 𝑉⃗ (𝐺/𝑅) ] et ∀ 𝑃 ∈ 𝑆 on a 𝑉⃗ (𝑃/𝑅) = 𝑉⃗ (𝐺/R) + Ω⃗⃗ _𝐷/𝑅∧ 𝐺𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

D’où 𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐷/𝑅) = 𝑉⃗ (𝐺/R) + Ω⃗⃗ _𝐷/𝑅∧ 𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝐼 ∈ 𝐷/𝑅) = 𝑥̇ 𝑋 0+ 𝜑̇ 𝑍 ₀∧ (−𝑎𝑌⃗ ₀) = (𝑥̇ + 𝑎𝜑̇)𝑌⃗ ₀

Le non glissement du disque (D) par rapport au plan 𝜋(𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑍₀ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) se traduit par 𝑉₀ ⃗ _𝑔(𝐼) = 𝑉⃗ (𝐼 ∈ D/R) = 0⃗

Il en résulte la relation suivante : 𝑥̇ = − 𝑎 𝜑̇ condition du non glissement

5 - Donner l’expression du vecteur d’accélération de la particule de contact I par rapport au repère R.

On considère un point 𝑃 ∈ (𝐷) on a 𝑉⃗ (𝑃/𝑅) = 𝑉⃗ (𝐺/R) + Ω⃗⃗ (𝐷/𝑅) ∧ 𝐺𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉⃗ (𝑃/𝑅) = 𝑥̇ 𝑋 0+ 𝜑̇ 𝑍 0∧ 𝑎 𝑋 = 𝑥̇ 𝑋 0+ 𝑎𝜑̇(𝑍 0∧ 𝑋 ) = 𝑥̇ 𝑋 0+ 𝑎𝜑̇𝑌⃗ = |𝑥̇ − 𝑎𝜑̇ sin 𝜑 𝑎𝜑̇ cos 𝜑

𝑅 0

𝑎 (𝑃/𝑅) = ^𝑑

𝑑𝑡|

𝑅(𝑉⃗ (𝑃/𝑅)) = | 𝑥̈ − 𝑎𝜑̈ sin 𝜑 − 𝑎𝜑̇²cos 𝜑 𝑎𝜑̈ cos 𝜑 − 𝑎𝜑̇²sin 𝜑

𝑅 0

Quand 𝑃 ≡ 𝐼 ⟹ 𝜑 =^3𝜋

2 ⟹ {𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0

𝑠𝑖𝑛𝜙 = −1 ainsi 𝑎 (𝐼 ∈ 𝐷/𝑅) = | 𝑥̈ + 𝑎𝜑̈

𝑎𝜑̇² 0

𝑅