Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚8
Questions de cours
Question n˚ 1
Axiome de r´ecurrence (´enonc´e) ; preuve de la propri´et´e
∀n∈N∗,
n
X
k=1
k3=
n(n+ 1) 2
2
preuve de la propri´et´e : toute fonction f: R→ Rest (d’une unique mani`ere) somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Question n˚ 2
D´efinition de l’inclusion d’un ensemble dans un autre ; d´efinition de l’´egalit´e de deux ensembles ; d´efinition de l’ensemble des parties d’un ensemble ; despcription en extension de P(E) lorsque E est l’ensemble `a trois
´el´ements{a, b, c}; preuve de l’´egalit´e suivante.
{(x, y)∈R2|3x−4y+5 = 0}={(5+4t,5+3t)|t∈R} Question n˚ 3
D´efinition et diagramme de Venn du compl´ementaire d’une partie d’un ensemble ; d´efinitions et diagrammes de Venn de la r´eunion et de l’intersection de deux par- ties d’un ensemble ; les 18 propri´etes des op´erations (passage au compl´ementaire, r´eunion, intersection) sur les parties d’un ensemble (´enonc´e, preuve d’une des lois de Morgan pour les ensembles et preuve d’une des relations de distributivit´e) ; conjecture sur l’in- tersection de A = {z ∈ C | zest imaginaire pur} et B ={z∈C| |z−1 +i|=√
2}par voie graphique et preuve de l’´egalit´e entre ensembles conjectur´ee.
Question n˚ 4
Les 7 propri´et´es liant inclusion et op´erations sur les parties d’un ensemble (´enonc´e, preuve de celle relative au passage au compl´ementaire, preuve des trois rela- tives `a la r´eunion) ; d´efinition de la notion d’applica- tion ; d´efinition du graphe d’une application ; d´efinition de l’application identit´e d’un ensemble ; d´efinition de la compos´ee de deux applications ; ´ecriture de l’appli- cation
f : ]− ∞,2[ →R
x 7→ 1
√3−x−1 comme compos´ee de trois applications≪usuelles≫.
Chap. 2 − Logique, ensembles et applications
• D´efinitions d’une proposition logique et de la va- leur de v´erit´e d’une telle.
• Pr´edicats, quantificateurs∀et ∃, proposition lo- gique quantifi´ee.
• D´efinition des connecteurs logiques non, ou, et.
• N´egation d’une proposition logique quantifi´ee.
• Si P est une proposition logique, alors P et non(non(P)) ont mˆeme valeur de v´erit´e.
• Lois de Morgan en logique.
• Distributivit´e de ou par rapport `a et (resp. de et par rapport `a ou).
• D´efinition d’une implication.
• D´efinition d’une condition n´ecessaire (resp. suffi- sante).
• N´egation d’une implication.
• D´efinition de la r´eciproque d’une implication.
• D´efinition de la contrapos´ee d’une implication.
• Une implication et sa contrapos´ee ont mˆeme va- leur de v´erit´e.
• D´efinition d’une ´equivalence.
• Raisonnement par r´ecurrence, raisonnement par contraposition, raisonnement par l’absurde, rai- sonnement par analyse-synth`ese.
• Notions d’ensemble et d’appartenance.
• D´efinition de l’ensemble vide.
• D´efinitions de l’inclusion d’un ensemble dans un autre et de l’´egalit´e de deux ensembles.
• D´efinitions d’une partie d’un ensemble et de l’en- semble des parties d’un ensemble.
• Tout ensemble poss`ede deux parties naturelles : lui-mˆeme et∅.
• D´efinition du compl´ementaire d’une partie d’un ensemble.
• D´efinitions de la r´eunion et de l’intersection de deux parties d’un ensemble.
• Propri´etes des op´erations (passage au compl´ementaire, r´eunion, intersection) sur les parties d’un ensemble (e.g. si A est une partie d’un ensemble E alors (A) = A, lois de Mor- gan pour les ensembles et distributivit´e de∩par rapport `a ∪).
• Propri´et´es liant inclusion et op´erations sur les en- sembles (e.g. si A et B sont deux parties d’un ensembleE, alorsA⊂A∪B et on aA∪B=A si et seulement siB⊂A).
• Produit cart´esien de deux ensembles.
• Produit cart´esien d’un nombre fini d’ensembles.
• D´efinition d’une application.
• Crit`ere d’´egalit´e de deux applications.
• D´efinition du graphe d’une application.
• D´efinition de l’ensemble des applications d’un en- sembleEdans un ensembleF(notationF(E, F) ouFE).
• D´efinition de l’application identit´e d’un en- semble.
• D´efinition de la restriction d’une application `a une partie de son ensemble de d´epart.
• D´efinition de la compos´ee de deux applications.
• Sif:E→F est une application, alorsf◦idE = f et idF◦f =f.
• Le produit de composition est associatif.
