Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚22
Questions de cours
Question n˚ 1 :Th´eor`eme d´ecrivant l’ensemble so- lution d’une EDLCCH2 sous forme param´etrique dans le cas o`u le corps des scalaires estR(´enonc´e) ; principe de superposition pour les EDLCC2 (´enonc´e et preuve) ; r´esolution de l’´equation diff´erentielle
(E) : y′′+y′−2y= 8 sh(x)
d’inconnuey:R→Rune fonction deux fois d´erivable.
Question n˚ 2 : Pr´esentation d’une m´ethode pour r´esoudre une EDLCC2 (synth`ese de la partie du cours correspondante) ; r´esolution de l’´equation diff´erentielle
(E) : y′′+ 4y= cos2(x)
d’inconnuey:R→Rune fonction deux fois d´erivable.
Question n˚ 3 : D´efinition de la divergence d’une suite (un)n≥0vers +∞(avec figure) ; preuve de
3n−1 5n+ 1 → 3
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en revenant `a la d´efinition formelle de la notion de limite ; comportement asymptotique de la suite ((−1)n)n∈N(´enonc´e et preuve).
Question n˚ 4 : D´efinition de la convergence d’une suite (un)n≥0 vers un r´eel l (avec figure) ; comporte- ment asymptotique de la somme de deux suites qui convergent vers 0 (´enonc´e et preuve) ; preuve de
4n−7→+∞
en revenant `a la d´efinition formelle de la notion de limite.
Chap. 8 − Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires
• D´efinitions d’une EDLCC2 et d’une EDLCCH2.
• D´efinitions d’une solution et de l’ensemble solu- tion d’une EDLCC2.
• Th´eor`eme d´ecrivant l’ensemble solution d’une EDLCCH2 sous forme param´etrique dans le cas o`u le corps des scalaires estC.
• Th´eor`eme d´ecrivant l’ensemble solution d’une EDLCCH2 sous forme param´etrique dans le cas o`u le corps des scalaires estR.
• Th´eor`eme sur la structure de l’ensemble solu- tion d’une EDLCC2.
• Recherche d’une solution particuli`ere d’une EDLCC2 dont le second membre est de la forme x 7→Aeλxo`u (A, λ)∈K2.
• Recherche d’une solution particuli`ere d’une EDLCC2 dont le second membre est de la forme x 7→Acos(ωx) o`u (A, ω)∈R2.
• Recherche d’une solution particuli`ere d’une EDLCC2 dont le second membre est de la forme x 7→Asin(ωx) o`u (A, ω)∈R2.
• Principe de superposition pour les EDLCC2.
• Th´eor`eme de Cauchy pour les EDLCC2.
Chap. 9 − Suites r´ eelles
• D´efinition de la notion de suite.
• Modes de d´efinition d’une suite (explicite, im- plicite, par r´ecurrence).
• D´efinitions d’une suite ր, ց, monotone, րր, ցց, strictement monotone.
• D´efinition d’une suite stationnaire.
• D´efinition d’une suite major´ee (resp. minor´ee, born´ee).
• Suite born´ee versus suite major´ee en valeur ab- solue.
• Suites arithm´etiques (d´efinition, raison d’une telle, formule pour le terme g´en´eral en fonction du premier terme et de la raison).
• Suites g´eom´etriques (d´efinition, raison d’une telle si le premier terme est non nul, formule pour le terme g´en´eral en fonction du premier terme et de la raison).
• Suites arithm´etico-g´eom´etriques (d´efinition et m´ethode pour expliciter le terme g´en´eral).
• Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2 (d´efinition et formule explicite pour le terme g´en´eral).
• D´efinitions formelles de la notion de limite (tendre vers un r´eel, tendre vers +∞, tendre vers−∞).
• D´efinition d’une suite convergente (resp. diver- gente).
• Unicit´e de la limite d’une suite en admettant une.
• D´efinition d’une suite extraite d’une suite donn´ee.
• Limite d’une suite extraite d’une suite qui ad- met une limite.
• Crit`ere pour qu’une suite admette une limite via la suite extraite des termes d’indices pairs et la suite extraite des termes d’indices impairs.
• Comportements asymptotiques des suites usuelles : (nα)n≥1 o`uα∈R, (qn)n≥0 o`uq∈R, ((ln(n))β)n≥1 o`uβ ∈R.
• Passage d’une convergence vers l ∈ R `a une convergence vers 0.
• Converger vers 0 versus converger vers 0 en va- leur absolue.
• Une suite convergente est born´ee.
• Op´erations sur les limites.
• Passage `a la limite dans une in´egalit´e large.
