Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚23
Questions de cours
Question n˚ 1 : D´efinition de la divergence d’une suite (un)n≥0 vers +∞ (avec figure) ; preuve de
3n−1
5n+1 → 35 en revenant `a la d´efinition formelle de la notion de limite ; comportement asymptotique de la suite ((−1)n)n∈N (´enonc´e et preuve).
Question n˚ 2 : D´efinition de la convergence d’une suite (un)n≥0 vers un r´eel l (avec figure) ; compor- tement asymptotique de la somme de deux suites qui convergent vers 0 (´enonc´e et preuve) ; preuve de 4n−7 →+∞ en revenant `a la d´efinition formelle de la notion de limite.
Question n˚ 3 : Th´eor`eme de la limite monotone (´enonc´e g´en´eral, preuve dans le cas o`u la suite est croissante et major´ee) ; comportement asymptotique de la suite
n
X
k=1
1 k
!
n≥1
(´enonc´e et preuve).
Question n˚ 4 :Division euclidienne d’un entier na- turel par un entier naturel non nul (´enonc´e) ; d´efinition du PGCD de deux entiers naturels non nuls ; trois pro- pri´et´es du PGCD de deux entiers naturels non nuls (´enonc´e et preuve) ; calcul du PGCD de 715 et 546 par l’algorithme d’Euclide.
Question n˚ 5 : Th´eor`eme de B´ezout (´enonc´e) ; lemme de Gauß (´enonc´e et preuve) ; r´esolution de l’´equation 148x+ 115y= 1 d’inconnue (x, y)∈Z2.
Chap. 9 − Suites r´ eelles
• D´efinition de la notion de suite.
• Modes de d´efinition d’une suite (explicite, im- plicite, par r´ecurrence).
• D´efinitions d’une suite ր, ց, monotone, րր, ցց, strictement monotone.
• D´efinition d’une suite stationnaire.
• D´efinition d’une suite major´ee (resp. minor´ee, born´ee).
• Suite born´ee versus suite major´ee en valeur ab- solue.
• Suites arithm´etiques (d´efinition, raison d’une telle, formule pour le terme g´en´eral en fonction du premier terme et de la raison).
• Suites g´eom´etriques (d´efinition, raison d’une telle si le premier terme est non nul, formule pour le terme g´en´eral en fonction du premier terme et de la raison).
• Suites arithm´etico-g´eom´etriques (d´efinition et m´ethode pour expliciter le terme g´en´eral).
• Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2 (d´efinition et formule explicite pour le terme g´en´eral).
• D´efinitions formelles de la notion de limite (tendre vers un r´eel, tendre vers +∞, tendre vers−∞).
• D´efinition d’une suite convergente (resp. diver- gente).
• Unicit´e de la limite d’une suite en admettant une.
• D´efinition d’une suite extraite d’une suite donn´ee.
• Limite d’une suite extraite d’une suite qui ad- met une limite.
• Crit`ere pour qu’une suite admette une limite via la suite extraite des termes d’indices pairs et la suite extraite des termes d’indices impairs.
• Comportements asymptotiques des suites usuelles : (nα)n≥1 o`uα∈R, (qn)n≥0 o`uq∈R, ((ln(n))β)n≥1 o`uβ ∈R.
• Passage d’une convergence vers l ∈ R `a une convergence vers 0.
• Converger vers 0 versus converger vers 0 en va- leur absolue.
• Une suite convergente est born´ee.
• Op´erations sur les limites.
• Passage `a la limite dans une in´egalit´e large.
• Th´eor`eme de convergence par encadrement.
• Th´eor`eme de divergence vers +∞ par minora- tion.
• Th´eor`eme de divergence vers −∞ par majora- tion.
• Th´eor`eme de la limite monotone.
• D´efinition de deux suites adjacentes.
• Th´eor`eme des suites adjacentes.
Chap. 10 − Arithm´ etique dans N
• D´efinitions d’un diviseur et d’un multiple d’un entier naturel.
• Lien entre diviseur et multiple.
• La relation de divisibilit´e sur N est une rela- tion d’ordre (i.e. est r´eflexive, antisym´etrique et transitive).
• Division euclidienne d’un entier naturel par un entier naturel non nul.
• Crit`ere de divisibilit´e via la division euclidienne.
• D´efinition du PGCD et du PPCM de deux en- tiers naturels non nuls.
• D´efinition de deux nombres entiers naturels non nuls premiers entre eux.
• Propri´et´es du PGCD (sym´etrie, cas o`u le plus petit des deux nombres divise l’autre, cas o`u le plus petit des deux nombres ne divise pas l’autre).
• Algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD et ≪remont´ee≫ pour obtenir une re- lation de B´ezout.
• Th´eor`eme de B´ezout.
• Lemme de Gauß.
