Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚28
Questions de cours
Question n˚ 1 : Projet´e orthogonal d’un point sur une droite (synth`ese) ; ´etant donn´es un RON du plan, une droite D d’´equation ax+by+c = 0 o`u (a, b) ∈ R2\ {(0,0)},c∈Ret un pointA(xA, yA), preuve de
min ({AM|M ∈ D}) = |axA+byA+c|
√a2+b2 . Question n˚ 2 : Equations cart´esiennes de cercles´ (synth`ese) ; ´etant donn´es un RON du plan et deux points distinctsA(xA, yA) etB(xB, yB), preuve de
C:=n
M ∈ P |−−→
AM .−−→
BM= 0o
est le cercle de diam`etre [AB] et ´equation cart´esienne deC.
Question n˚ 3 : D´efinition d’un diviseur d’un po- lynˆome ; division euclidienne dans K[X] (´enonc´e) ; crit`ere de divisibilit´e via un reste de division eucli- dienne (´enonc´e et preuve) ; ´etant donn´es un polynˆome P ∈ K[X], a et b des ´el´ements distincts de K, ex- pression du reste de la division euclidienne de P par (X −a)(X −b) en fonction de Pe(a) et P(b) (avece preuve).
Question n˚ 4 : D´eriv´ee formelle d’un polynˆome (synth`ese) ; formule de Taylor pour les polynˆomes (´enonc´e et preuve) ; que dire d’un polynˆomeP ∈R[X] de degr´e 3 tel que
Pg(0)(1) =Pg(1)(1) =Pg(2)(1) =Pg(3)(1) = 3!×α o`u αest un r´eel fix´e ?
Question n˚ 5 : D´efinitions d’une racine d’un po- lynˆome et de la multiplicit´e d’une telle ; caract´erisation d’une racine par une relation de divisibilit´e (´enonc´e) ; majoration du nombre de racines d’un polynˆome non nul (´enonc´e) ; caract´erisation de la multiplicit´e d’une racine d’un polynˆome non nul via les d´eriv´ees formelles successives (´enonc´e et preuve) ; sachant que 1 est ra- cine deP =X5−X4−6X3+ 14X2−11X+ 3, calcul de SpecR(P).
Chap. 11 − G´ eom´ etrie dans le plan
• Projet´e orthogonal d’un point sur une droite : d´efinition et propri´et´e de minimisation.
• D´efinition du cercle de centre Ω un point du plan et de rayonr∈R>0.
• Equation cart´esienne d’un cercle.´
• Cercle d´efini par une ´equation cart´esienne.
Chap. 12 − Polynˆ omes
• D´efinition formelle d’un polynˆome `a coefficients dansKet d´efinition deK[X].
• Op´erations sur les polynˆomes (+, . et ×) : d´efinitions et propri´et´es (e.g. structure de K- vectoriel surK[X]).
• Degr´e d’un polynˆome : d´efinition, propri´et´e du degr´e d’une somme (resp. d’un produit).
• D´efinitions du coefficient dominant d’un po- lynˆome non nul et d’un polynˆome unitaire.
• Notation puissance pour les polynˆomes et for- mule du binˆome de Newton pour les polynˆomes.
• Notation Xn
k=0
aiXi pour un polynˆome.
• Fonction polynomialePe:K→Kassoci´ee `a un polynˆomeP ∈K[X].
• Relation de divisibilit´e dans K[X], d´efinition d’un diviseur et d’un multiple d’un polynˆome.
• Division euclidienne dansK[X].
• Crit`ere de divisibilit´e via un reste de division euclidienne.
• D´eriv´ee formelle d’un polynˆome : d´efinition et propri´et´es (degr´e du polynˆome d´eriv´e, lin´earit´e, d´eriv´ee d’un produit).
• Lien entre la d´eriv´ee formelle d’un polynˆome `a coefficients r´eels et la d´eriv´ee de la fonction po- lynomiale associ´ee.
• D´eriv´ees formelles successives d’un polynˆome.
• Formule de Taylor pour les polynˆomes.
• D´efinitions d’une racine dansKd’un polynˆome dansK[X] et du spectre dansKd’un polynˆome dansK[X].
• Caract´erisation d’une racine par une relation de divisibilit´e.
• Racines deux `a deux distinctes et factorisation.
• Majoration du nombre de racines d’un po- lynˆome non nul par son degr´e.
• L’applicationP 7→Peest injective.
• D´efinition de la multiplicit´e d’une racine d’un polynˆome non nul.
• Caract´erisation de la multiplicit´e d’une racine d’un polynˆome non nul via les d´eriv´ees formelles successives.
