Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚20
Questions de cours
Question n˚ 1 : D´efinition d’une matrice triangu- laire sup´erieure ; Tn(K) est stable par multiplication (preuve) ; d´efinition de la transpos´ee d’une matrice ; propri´et´es de la transposition (´enonc´e et preuve de la propri´et´e concernant la transpos´ee d’un produit).
Question n˚ 2 : D´efinition d’une matrice carr´ee in- versible ; r´esultats sur le produit de deux matrices in- versibles (´enonc´e et preuve) ; ´etude de l’inversibilit´e et calcul de l’inverse ´eventuelle de la matrice
A=
1 2 2
−1 2 1
1 3 2
par la m´ethode du pivot de Gauß, en justifiant la d´emarche avec des matrices ´el´ementaires.
Question n˚ 3 : Th´eor`eme fondamental sur la caract´erisation des matrices inversibles (´enonc´e et preuves de (1)⇒(3) et (1)⇔(2)).
Question n˚ 4 :Th´eor`eme d´ecrivant l’ensemble so- lution d’une EDLH1 sous forme param´etrique (´enonc´e et preuve) ; r´esolution de l’´equation diff´erentielle
(E) : y′− 2 xy= 1
x
sur ]0,+∞[ et trac´e de quelques courbes int´egrales.
Question n˚ 5 : Th´eor`eme sur la structure de l’en- semble solution d’une EDL1 (´enonc´e et preuve) ; re- cherche d’une solution particuli`ere d’une EDL1 par la m´ethode de la variation de la constante dans un contexte g´en´eral ; r´esolution de l’´equation diff´erentielle
(E) : y′−y=x ex surR.
Chap. 7 − Matrices
• D´efinitions d’une matrice, d’un vecteur ligne, d’un vecteur colonne.
• D´efinition de l’ensembleMn,p(K).
• D´efinition de l’addition de deux matrices de mˆeme format ; d´efinition de la multiplication d’une matrice par un scalaire ; structure deK- espace vectoriel surMn,p(K).
• D´efinitions d’une combinaison lin´eaire d’un nombre fini de matrices de mˆeme format.
• D´efinition et propri´et´es du produit matriciel.
• Ecriture matricielle d’un syst`eme lin´eaire.´
• D´efinition de l’ensemble Mn(K) ; structure de K-alg`ebre surMn(K).
• D´efinition et propri´et´es de la matrice identit´eIn
deMn(K).
• D´efinition des puissances d’une matrice carr´ee ; formule du binˆome de Newton pour deux ma- trices carr´ees qui commutent.
• D´efinitions d’une matrice diagonale (resp. trian- gulaire sup´erieure) ; d´efinition et propri´et´es de l’ensembleDn(K) (resp.Tn(K)).
• D´efinition d’une matrice de permutation (resp.
de dilatation, de transvection) ; d´efinition d’une matrice ´el´ementaire.
• Multiplication d’une matrice A par une ma- trice ´el´ementaire `a gauche versus op´erations
´el´ementaires sur les lignes deA.
• Traduction matricielle de la relation d’´equivalence∼
L entre matrices de formatn×p
`
a coefficients dansK; traduction matricielle du th´eor`eme de Gauß-Jordan.
• D´efinitions d’une matrice carr´ee inversible et de l’ensemble GLn(K) ; stabilit´e de GLn(K) par passage `a l’inverse (resp. par multiplication) et formule pour l’inverse de l’inverse d’une ma- trice inversible (resp. pour l’inverse d’un produit d’inversibles).
• Inversibilit´e et inverse d’une matrice de per- mutation (resp. de dilatation, de transvection) ; toute matrice ´el´ementaire est inversible.
• Th´eor`eme fondamental sur la caract´erisation des matrices inversibles.
• Deux m´ethodes pour ´etudier l’inversibilit´e et calculer l’inverse ´eventuelle d’une matrice : en r´esolvant un syst`eme lin´eaire `a param`etre ; en utilisant la m´ethode du pivot de Gauß.
• D´efinition de la transpos´ee d’une matrice.
• Propri´et´es de la transposition (la transposition est involutive, lin´earit´e, transposition et pro- duit, transposition et inversibilit´e).
Chap. 8 − Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires
• D´efinitions d’une EDL1 et d’une EDLH1.
• D´efinitions d’une solution et de l’ensemble solu- tion d’une EDL1.
• Th´eor`eme d´ecrivant l’ensemble solution d’une EDLH1 sous forme param´etrique.
• Th´eor`eme sur la structure de l’ensemble solu- tion d’une EDL1.
• Premi`ere approche pour rechercher une solution particuli`ere d’une EDL1 : observer si une fonc- tion constante ou une fonction monomiale ou une fonction polynomiale est solution.
• Deuxi`eme approche pour rechercher une solu- tion particuli`ere d’une EDL1 : la m´ethode de la variation de la constante.
• Th´eor`eme de Cauchy pour les EDL1.
• Une cons´equence g´eom´etrique du th´eor`eme de Cauchy pour les EDL1 : deux courbes int´egrales distinctes d’une mˆeme EDL1 ne se coupent pas.
